2015-北京卷文-11 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a=3,b=\sqrt{6},A=\frac{2\pi }{3}$，则 $\angle B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 建立方程。
2. 代入已知数据求解 $\sin B$ 的值，进而结合角的范围确定 $\angle B$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$， 即 $\frac{3}{\sin \frac{2\pi }{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sin B}$。 因为 $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因为在 $△ABC$ 中，$a>b$，故 $\angle A>\angle B$，又 $\angle A=120^{\circ }$，所以 $\angle B$ 为锐角。 因此 $\angle B=\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$）。 答案：$\frac{\pi }{4}$（或 $45^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理。
2. 核心方法：边角转化与特殊角三角函数值。
3. 避坑指南：由正弦值求角时需结合三角形大边对大角判断锐钝性，防止漏解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解三角形基础通解。
2. 结论推广: 正弦定理解三角形的规范步骤。

🔗【关联脉络】

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