2015-北京卷文-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中目标函数的最值问题，通过图形的顶点坐标代入求解。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 如图，$△ABC$ 及其内部的点组成的集合记为 $D$，$P(x,y)$ 为 $D$ 中任意一点，则 $z=2x+3y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确可行域为三角形区域 $ABC$ 及其内部。
2. 利用线性规划的角点法，将三角形的三个顶点坐标代入目标函数 $z=2x+3y$ 中比较大小，找出最大值。

✅【答案】

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$7$

✍【详细解析】

Abstract

由图知，可行域为 $△ABC$ 及其内部，三个顶点的坐标分别为 $C(0,2)$，$B(1,0)$，$A(2,1)$。 分别将这三个顶点坐标代入目标函数 $z=2x+3y$：

• 当顶点为 $C(0,2)$ 时：$z=2(0)+3(2)=6$；
• 当顶点为 $B(1,0)$ 时：$z=2(1)+3(0)=2$；
• 当顶点为 $A(2,1)$ 时：$z=2(2)+3(1)=4+3=7$。 比较可知，最大值为 $7$。 答案：$7$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：必须确保所有顶点坐标均准确无误，代入计算时要细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 目标函数在封闭多边形区域的最值一定在边界的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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