2015-北京卷理-14 填-分段函数

本题导读

本题是 2015 年北京理科卷的选择题压轴题。第一问考查分段函数最值的基本计算；第二问要求根据零点个数逆推参数 $a$ 的范围。解题关键在于利用数形结合的思想，分别讨论指数部分和二次部分在各自定义域内的零点分布情况。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x-a,& x<1\\ 4(x-a)(x-2a),& x⩾1\end{array}$.

① 若 $a=1$，则 $f(x)$ 的最小值为 $\underline{}$；

② 若 $f(x)$ 恰有 2 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求最值）：
   • 将 $a=1$ 代入，得到具体的分段函数。
   • 分别分析 $x<1$ 和 $x⩾1$ 两段的单调性与值域，比较两段的最小值，得出全域最小值。
2. 第二问（零点问题）：
   • 分类讨论：总共 2 个零点，可以分为“1+1”型（每段各一个）或“0+2”型（第一段无，第二段两个）等情况。
   • 分段研究：
     • 指数段 $h(x)=2^x-a$（$x<1$）：零点为 $x={\log }_{2}a$。需满足 ${\log }_{2}a<1$ 即 $a<2$ 且 $a>0$ 时该段有零点。
     • 二次段 $g(x)=4(x-a)(x-2a)$（$x⩾1$）：根为 $a$ 和 $2a$。需判断这些根是否落在 $[1,+\infty )$ 内。
   • 边界条件：注意 $a$ 的正负对二次函数开口方向及零点位置的影响。

✅【答案】

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综上所述，$a$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2},1)\cup [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

① 求 $a=1$ 时的最小值

当 $a=1$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x-1,& x<1\\ 4(x-1)(x-2),& x⩾1\end{array}$。

• 当 $x<1$ 时，$f(x)=2^x-1$ 单调递增，值域为 $(-1,1)$。该段无最小值，但下限为 $-1$。
• 当 $x⩾1$ 时，$f(x)=4(x-1)(x-2)$ 为开口向上的抛物线，对称轴为 $x=\frac{3}{2}$。 最小值为 $f(\frac{3}{2})=4(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)=4\times \frac{1}{2}\times (-\frac{1}{2})=-1$。 综合两段，最小值为 $-1$。

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② 求恰有 2 个零点的 $a$ 范围

设 $h(x)=2^x-a(x<1)$，$g(x)=4(x-a)(x-2a)(x⩾1)$。

情况 1：$h(x)$ 在 $x<1$ 内有一个零点 需 $0<a<2^1=2$，此时 $x={\log }_{2}a$ 是第一个零点。 为了总共有 2 个零点，需 $g(x)$ 在 $x⩾1$ 内恰有一个零点。 $g(x)$ 的根为 $x_1=a,x_2=2a$。由于 $a>0$，必有 $2a>a$。

• 若 $a<1$ 且 $2a⩾1$，即 $\frac{1}{2}⩽a<1$，此时只有一个根 $2a$ 落在 $[1,+\infty )$。满足条件。

情况 2：$h(x)$ 在 $x<1$ 内没有零点

• 若 $a⩽0$：$h(x)=2^x-a>0$ 恒成立，无零点。 此时 $g(x)=4(x-a)(x-2a)$ 的根为 $a,2a$。由于 $a⩽0$，两根均 $<1$，此时 $g(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 递增且 $g(1)>0$，无零点。舍去。
• 若 $a⩾2$：$h(x)=2^x-a⩽2^1-a⩽0$，且仅当 $x\to 1$ 且 $a=2$ 时可能趋近 0。 实际上当 $a⩾2$ 时，$x<1⟹2^x<2⩽a$，故 $h(x)<0$ 恒成立，无零点。 此时需 $g(x)$ 在 $x⩾1$ 内有两个零点。 根为 $a$ 和 $2a$。由于 $a⩾2$，则 $a⩾1$ 且 $2a>1$。 两根均落在 $[1,+\infty )$ 区间。满足条件。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2},1)\cup [2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分类讨论的界限：本题以 $a=1/2,a=1,a=2$ 为关键节点，这些点决定了零点是否能“跨过”分段点 $x=1$。
2. 临界值判定：在处理 $x⩾1$ 的零点时，务必带入等号检查，如 $a=1/2$ 时 $2a=1$ 刚好是一个零点。
3. 避坑指南：容易遗漏 $a⩾2$ 的情况，或者错误地认为 $a=1$ 时有两个零点（实际上 $a=1$ 时，$2a=2$ 是一个，$a=1$ 是另一个，但指数段 $2^x-1$ 在 $x<1$ 时也有一个趋近于 0 但不达到的趋势，需要细心判定）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于零点问题，也可以通过转化方程为 $a=2^x(x<1)$ 和 $a$ 与二次函数根的关系，利用图象平移法（动态 $a$ 直线）求解。
• 变式思考：若要求 $f(x)$ 恰有 3 个零点，参数 $a$ 的范围是多少？ (提示：需要满足 $0<a<1$ 且 $a⩾1$（矛盾）或其它组合。根据本题结构，只有 $1⩽a<2$ 时，两段加起来才可能有 3 个零点。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

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