2015-北京卷理-17 解-线面垂直

本题导读

本题是立体几何综合解答题。第一问考查线线垂直的证明；第二问利用空间向量法计算二面角的余弦值；第三问通过线面垂直的性质建立向量方程求参数值。解题核心在于准确建立空间直角坐标系，并熟练运用法向量夹角公式。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 如图，在四棱锥 $A-EFCB$ 中，$△AEF$ 为等边三角形，平面 $AEF\perp$ 平面 $EFCB$，$EF//BC$，$BC=4$，$EF=2a$，$\angle EBC=\angle FCB=60^{\circ }$，$O$ 为 $EF$ 的中点.

(1) 求证：$AO\perp BE$；

(2) 求二面角 $F-AE-B$ 的余弦值；

(3) 若 $BE\perp$ 平面 $AOC$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（垂直证明）：利用等边三角形性质得 $AO\perp EF$，再利用面面垂直性质定理证得 $AO\perp$ 平面 $EFCB$，从而得出 $AO\perp BE$。
2. 第二问（二面角）：
   • 建立坐标系：以 $O$ 为原点，$EF$ 所在直线为 $x$ 轴，底面内过 $O$ 垂直于 $EF$ 的直线为 $y$ 轴，$OA$ 所在直线为 $z$ 轴。
   • 求法向量：分别求出平面 $AEB$ 的法向量 $\vec{n}$ 和平面 $AEF$ 的法向量 $\vec{m}$。
   • 夹角公式：利用 $|\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩|$ 计算并根据图形判定余弦值。
3. 第三问（参数求解）：利用 $BE\perp$ 平面 $AOC⟹\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=0$，代入坐标运算解出 $a$。

✅【答案】

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𝐴𝑂⟂𝐵𝐸；二面角𝐹−𝐴𝐸−𝐵的余弦值为−√55；𝑎=43.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$AO\perp BE$ 因为 $△AEF$ 是等边三角形，$O$ 是 $EF$ 的中点， 所以 $AO\perp EF$。 又因为平面 $AEF\perp$ 平面 $EFCB$，平面 $AEF\cap$ 平面 $EFCB=EF$，$AO\subset$ 平面 $AEF$， 由面面垂直性质定理得：$AO\perp$ 平面 $EFCB$。 因为 $BE\subset$ 平面 $EFCB$， 故 $AO\perp BE$。

(2) 求二面角 $F-AE-B$ 的余弦值

取 $BC$ 的中点 $G$，连接 $OG$。由题意知四边形 $EFCB$ 是等腰梯形，则 $OG\perp EF$。 以 $O$ 为原点，$OE,OG,OA$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 在底面梯形中，作 $BH\perp EF$ 于 $H$。 $BC=4,EF=2a⟹OE=a,BG=2,GH=a$。 $BH=(2-a)\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}(2-a)$。 则点坐标：$E(a,0,0),A(0,0,\sqrt{3}a),B(2,\sqrt{3}(2-a),0)$。 $\overrightarrow{EA}=(-a,0,\sqrt{3}a),\overrightarrow{EB}=(2-a,\sqrt{3}(2-a),0)$。 设平面 $AEB$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{EA}=-ax+\sqrt{3}az=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{EB}=(2-a)x+\sqrt{3}(2-a)y=0\end{array}⟹\vec{n}=(\sqrt{3},-1,1)$。 平面 $AEF$（即 $xOz$ 面）的法向量 $\vec{m}=(0,1,0)$。 $|\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩|=\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{|-1|}{1\times \sqrt{3+1+1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 由图知二面角为锐角，故余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

(3) 求 $a$ 的值 若 $BE\perp$ 平面 $AOC$，则 $BE\perp OC$。 $\overrightarrow{BE}=(a-2,-\sqrt{3}(2-a),0)$。 点 $C$ 坐标为 $(-2,\sqrt{3}(2-a),0)$，则 $\overrightarrow{OC}=(-2,\sqrt{3}(2-a),0)$。 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{OC}=-2(a-2)-3(a-2{)}^2=0$。 因为 $a\ne 2$（否则梯形不存在）， 解得 $a=\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 建系逻辑：本题底面是等腰梯形，通过对称轴建立坐标系最为便捷。
2. 计算细节：第二问法向量 $\vec{n}$ 与 $a$ 无关，这是一个有趣的几何特性（平面 $AEB$ 的倾斜角由底面角度决定）。
3. 避坑指南：注意 $\overrightarrow{BE}$ 和 $\overrightarrow{EB}$ 的方向；第三问中 $\overrightarrow{OC}$ 的坐标需根据 $C$ 在梯形中的位置准确写出。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可用几何法。作 $BH\perp EF$，连接 $AH$，由于 $AO\perp$ 底面，可利用三垂线定理寻找二面角的平面角。
• 变式思考：若 $a=2$，底面变为平行四边形，二面角会如何变化？

🔗【关联脉络】

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𝐴𝑂⟂𝐵𝐸；二面角𝐹−𝐴𝐸−𝐵的余弦值为−√55；𝑎=43.

类题演练(Links)

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