2015-四川卷理-03 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图中的循环结构。核心在于准确识别循环终止的临界点，并结合特殊角的三角函数值计算最终结果。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值是 ()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 识别循环逻辑：这是一个“当型循环”与“直到型循环”特征混合的结构。核心变量是 $k$，循环体包含 $k=k+1$。
2. 跟踪变量变化：
   • 初始状态：$k=1$。
   • 第一轮：执行 $k=1+1=2$，判断 $k>4$？（否），继续循环。
   • 第二轮：执行 $k=2+1=3$，判断 $k>4$？（否），继续循环。
   • 第三轮：执行 $k=3+1=4$，判断 $k>4$？（否），继续循环。
   • 第四轮：执行 $k=4+1=5$，判断 $k>5$？（是），跳出循环。
3. 计算输出值：将退出循环时的 $k$ 值代入 $S=\sin \frac{k\pi }{6}$。
4. 特殊角求值：利用诱导公式或单位圆求出 $\sin \frac{5\pi }{6}$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：模拟执行过程

• 开始：$k=1$。
• 第一次循环：$k=1+1=2$。判断 $2>4$ 不成立，返回。
• 第二次循环：$k=2+1=3$。判断 $3>4$ 不成立，返回。
• 第三次循环：$k=3+1=4$。判断 $4>4$ 不成立（注意临界点），返回。
• 第四次循环：$k=4+1=5$。判断 $5>4$ 成立，进入下一步。

第二步：计算并输出 退出循环时 $k=5$，则执行： $S=\sin \frac{5\pi }{6}$ 利用诱导公式 $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$： $S=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：程序框图的循环逻辑；$k>4$ 这一判断框对 $k$ 取值的精确控制。
• 核心方法：变量跟踪法。在草稿纸上列出 $k$ 的取值序列是解此类题最稳妥的方法。
• 避坑指南：注意判断框中的大于号（$>$）。当 $k=4$ 时仍不满足条件，必须执行下一次加法变为 $5$ 才能跳出。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若判断条件改为 $k\ge 4$，则输出结果会变为 $\sin \frac{4\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

• 相关知识点：三角函数诱导公式、单位圆性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-03 单-正弦函数图象的平移变换
• 2016-四川卷文-8
• 2016-四川卷理-03