2015-四川卷理-08 单-充分必要条件

本题导读

本题考查指数函数、对数函数的性质与逻辑条件的综合判定。核心在于利用单调性化简条件，并利用换底公式处理底数不同的对数比较，最后通过正向推导与反例筛选逻辑关系。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 设 $a,b$ 都是不等于 1 的正数，则“$3^a>3^b>3$”是“${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$”的 ()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简前项条件 $P$：
   • 由 $3^a>3^b>3^1$，根据指数函数 $y=3^x$ 的单调递增性，可得 $a>b>1$。
2. 分析后项结论 $Q$：
   • ${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$ 涉及底数不同的对数。利用换底公式将其转化为以 $3$ 为底的形式：$\frac{1}{{\log }_{3}a}<\frac{1}{{\log }_{3}b}$。
   3. 判定充分性（$P⟹Q$）：
   • 若 $a>b>1$，则 ${\log }_{3}a>{\log }_{3}b>0$。
   • 取倒数得 $\frac{1}{{\log }_{3}a}<\frac{1}{{\log }_{3}b}$，即 ${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$。
   • 充分性成立。
3. 判定必要性（$Q⟹P$）：
   • 考虑反例：如果底数 $a,b$ 落在 $(0,1)$ 区间内，结论 $Q$ 是否仍能成立？
   • 寻找能使 $Q$ 成立但 $P$ 不成立（如 $a<1$）的数值组合。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简已知条件 设 $P$：“$3^a>3^b>3$”，$Q$：“${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$”。 因为 $y=3^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增， 所以 $P⟺a>b>1$。

第二步：验证充分性（$P⟹Q$） 若 $a>b>1$，则 ${\log }_{3}a>{\log }_{3}b>{\log }_{3}1=0$。 由于不等式两边均为正数，取倒数后不等号变向： $\frac{1}{{\log }_{3}a}<\frac{1}{{\log }_{3}b}$ 根据换底公式 ${\log }_{x}y=\frac{1}{{\log }_{y}x}$ 可知，上式即： ${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$ 故充分性成立。

第三步：验证必要性（$Q⟹P$） 若 ${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$，即 $\frac{1}{{\log }_{3}a}<\frac{1}{{\log }_{3}b}$。 考虑 $a\in (0,1)$ 的情况。 取 $a=\frac{1}{3}$，则 ${\log }_{3}a=-1$。 取 $b=3$，则 ${\log }_{3}b=1$。 此时 $\frac{1}{-1}<\frac{1}{1}$（即 $-1<1$），满足结论 $Q$。 但此时 $a=\frac{1}{3}<1$，易知不满足 $P$ 条件中的 $a>b>1$。 故必要性不成立。

综上所述，“$3^a>3^b>3$”是“${\log }_{a}3<{\log }_{b}3$”的充分不必要条件。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数与对数函数的单调性；换底公式的灵活变形；逻辑判定的反例技巧。
• 核心方法：换底法。处理异底对数比较大小时，统一真数并转化为分式是标准路径。
• 避坑指南：不要漏掉底数在 $(0,1)$ 范围内的讨论。很多同学默认 $a,b>1$，从而误选了充要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 ${\log }_{a}N$ 和 ${\log }_{b}N$ ($N>1$)：

1. 若 $a>b>1$，则 ${\log }_{a}N<{\log }_{b}N$；
2. 若 $1>a>b>0$，则 ${\log }_{a}N>{\log }_{b}N$。

• 相关知识点：反比例函数的单调性、不等式的倒数性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2013年四川卷理-8
• 2012年四川卷理-8
• 2014-四川卷理-08 单-线面角的向量求法