2015-天津卷文-19 解-椭圆定比

本题导读

离心率 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 给出 $b=2c$，得 $k_{BF}=2$；逐点求 $P,Q,M$ 坐标得 $\lambda =\frac{7}{8}$；由距离与角的条件定出 $x^2/5+y^2/4=1$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $B$，左焦点为 $F$，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(1) 求直线 $BF$ 的斜率；

(2) 设直线 $BF$ 与椭圆交于点 $P$（$P$ 异于点 $B$），过点 $B$ 且垂直于 $BP$ 的直线与椭圆交于点 $Q$（$Q$ 异于点 $B$），直线 $PQ$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，$|PM|=\lambda |MQ|$.

（i）求 $\lambda$ 的值；

（ii）若 $|PM|\sin \angle BQP=\frac{7\sqrt{5}}{9}$，求椭圆的方程.

🔍【思路分析】

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离心率 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 给出 $b=2c$，得 $k_{BF}=2$；逐点求 $P,Q,M$ 坐标得 $\lambda =\frac{7}{8}$；由距离与角的条件定出 $x^2/5+y^2/4=1$。

✅【答案】

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(1) $k_{BF}=2$

(2) （i）$\lambda =\frac{7}{8}$；（ii）椭圆方程为 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，故 $a^2=5c^2$，$b^2=a^2-c^2=4c^2$，$b=2c$。

$B=(0,b)$，$F=(-c,0)$，$k_{BF}=\frac{b-0}{0+c}=\frac{b}{c}=2$。

(2) （i）设 $t=c^2$，椭圆为 $4x^2+5y^2=20t$，$B=(0,2\sqrt{t})$，$F=(-\sqrt{t},0)$，直线 $BF$：$y=2x+2\sqrt{t}$。

联立：$4x^2+5(2x+2\sqrt{t}{)}^2=20t\Rightarrow 24x^2+40\sqrt{t}x=0$，得 $x_B=0$，$x_P=-\frac{5\sqrt{t}}{3}$，$P=\left(-\frac{5\sqrt{t}}{3},-\frac{4\sqrt{t}}{3}\right)$。

$\overrightarrow{BP}=\frac{\sqrt{t}}{3}(-5,-10)\parallel (1,2)$，与 $BP$ 垂直的方向取 $(2,-1)$，直线 $BQ$：$y=2\sqrt{t}-\frac{x}{2}$。

联立：$4x^2+5{\left(2\sqrt{t}-\frac{x}{2}\right)}^2=20t\Rightarrow \frac{21}{4}{x}^2=10\sqrt{t}x$，得 $x_Q=\frac{40\sqrt{t}}{21}$，$Q=\left(\frac{40\sqrt{t}}{21},\frac{22\sqrt{t}}{21}\right)$。

$\overrightarrow{PQ}\parallel (3,2)$，直线 $PQ$ 过 $M$（$x=0$）：由 $P+s(3,2)$ 的横坐标为零得 $s=\frac{5}{9}$，$M=\left(0,-\frac{2\sqrt{t}}{9}\right)$。

$|PM|=\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(\frac{10}{9}\right)}^2}\cdot \sqrt{t}=\frac{5\sqrt{13}}{9}\sqrt{t}$，$|MQ|=\sqrt{{\left(\frac{40}{21}\right)}^2+{\left(\frac{80}{63}\right)}^2}\cdot \sqrt{t}=\frac{40\sqrt{13}}{63}\sqrt{t}$。

$\lambda =\frac{|PM|}{|MQ|}=\frac{5\sqrt{13}/9}{40\sqrt{13}/63}=\frac{7}{8}$。

（ii）直线 $PQ$：$2x-3y-\frac{2\sqrt{t}}{3}=0$（过 $M$、方向 $(3,2)$）。

点 $B(0,2\sqrt{t})$ 到 $PQ$ 的距离 $d=\frac{\left|2\cdot 0-3\cdot 2\sqrt{t}-\frac{2\sqrt{t}}{3}\right|}{\sqrt{13}}=\frac{20\sqrt{t}}{3\sqrt{13}}$，

$\sin \angle BQP=\frac{d}{|BQ|}$，其中 $|BQ|=\sqrt{{\left(\frac{40}{21}\right)}^2+{\left(\frac{22}{21}-2\right)}^2}\cdot \sqrt{t}=\frac{20\sqrt{5}}{21}\sqrt{t}$。

故 $\sin \angle BQP=\frac{20\sqrt{t}}{3\sqrt{13}}\cdot \frac{21}{20\sqrt{5}\sqrt{t}}=\frac{7}{\sqrt{65}}$。

$|PM|\sin \angle BQP=\frac{5\sqrt{13}}{9}\sqrt{t}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}}=\frac{35\sqrt{t}}{9\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{9}\sqrt{t}=\frac{7\sqrt{5}}{9}$，得 $t=1$。

故 $a^2=5$，$b^2=4$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率；直线与椭圆的交点；点到直线的距离与线段长度比

核心方法：“离心率 → $b,c$ 关系 → 斜率”一气呵成；$P,Q,M$ 逐点坐标化，长度比化为坐标模之比

避坑指南：本题坐标计算量大，处处约去公因子 $\sqrt{t}$ 能大幅减负；$\sin \angle BQP$ 用”$B$ 到直线 $PQ$ 的距离除以 $|BQ|$“转化，是避免解三角形复杂化的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷椭圆解答题的代表性结构（离心率 + 垂直 + 定比 + 待定方程），2014-2019 年天津卷理第 19 题逐年变式。

结论推广：把条件改为 $|PM|=\lambda |MQ|$ 求 $\lambda$ 与 $t$ 的关系，或把 $\sin \angle BQP$ 换成 $\tan \angle BQP$，均可按本题同一坐标框架推进。

方法推广：解析几何大题先统一参数（如 $t=c^2$）减少字母个数；涉及长度比时先求直线与坐标轴交点，用方向向量的比例约简计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

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