2015-安徽卷文-19 解-几何体体积

本题导读

本题考查立体几何中三棱锥的体积计算以及线面垂直的证明，综合性较强，常采用空间向量法或传统几何法求解。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp \text{平面 }ABC$，$PA=1$，$AB=1$，$AC=2$，$\angle BAC=60^{\circ }$.

(1) 求三棱锥 $P-ABC$ 的体积；

(2) 证明：在线段 $PC$ 上存在点 $M$，使得 $AC\perp BM$，并求 $\frac{PM}{MC}$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 利用锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PA$，先求出底面积 $△ABC$ 的面积，再求体积。
2. 建立空间直角坐标系，利用向量法设出点 $M$ 的坐标（或比例系数），由 $AC\perp BM$（即 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BM}=0$）求解参数。

✅【答案】

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（1）底面三角形𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×𝐴𝐵×𝐴𝐶×sin∠𝐵𝐴𝐶=12×1×2×sin60∘=

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，$AB=1$，$AC=2$，$\angle BAC=60^{\circ }$。 其面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 1\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $PA\perp \text{平面 }ABC$，且 $PA=1$， 所以三棱锥 $P-ABC$ 的体积为： $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

(2) 以 $A$ 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（或以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 相关方向建系）： 设 $A(0,0,0)$，则 $B(1,0,0)$。 因为 $AC=2$，$\angle BAC=60^{\circ }$，且 $AB$ 在 $x$ 轴上，可得 $C(2\cos 60^{\circ },2\sin 60^{\circ },0)=(1,\sqrt{3},0)$。 因为 $PA\perp \text{平面 }ABC$，且 $PA=1$，故 $P(0,0,1)$。 设 $\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PC}$ ($\lambda \in [0,1]$)。 因为 $\overrightarrow{PC}=C-P=(1,\sqrt{3},-1)$， 所以 $\overrightarrow{PM}=(\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,-\lambda )$。 点 $M$ 的坐标为 $(\lambda ,\sqrt{3}\lambda ,1-\lambda )$。 又点 $B(1,0,0)$，故 $\overrightarrow{BM}=(\lambda -1,\sqrt{3}\lambda ,1-\lambda )$。 已知 $\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3},0)$。 要使 $AC\perp BM$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BM}=0$。 即 $1\cdot (\lambda -1)+\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}\lambda )+0\cdot (1-\lambda )=0$。 化简得：$\lambda -1+3\lambda =0⟹4\lambda =1⟹\lambda =\frac{1}{4}$。 因为 $\lambda =\frac{1}{4}\in [0,1]$，所以在线段 $PC$ 上确实存在点 $M$。 此时 $\frac{PM}{MC}=\frac{\lambda }{1-\lambda }=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：锥体体积、空间向量数量积与垂直应用。
2. 核心方法：空间向量坐标法（化解立体几何代数计算）。
3. 避坑指南：建系时向量坐标的投影要准确，分比计算不要颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题标准模板。
2. 结论推广: 动点在线段上的比例问题通常可用向量共线或定比分点迅速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

（1）底面三角形𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×𝐴𝐵×𝐴𝐶×sin∠𝐵𝐴𝐶=12×1×2×sin60∘=

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