2015-安徽卷文-21 解-导数综合

本题导读

本题考查利用导数研究含参函数的定义域、单调性以及极值问题，属于高考压轴题中常见的导数综合应用题。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{ax}{(x+r{)}^2}(a>0,r>0)$.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $\frac{a}{r}=400$，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的极值.

🔍【思路分析】

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1. 由分母不为零求出定义域；利用商的求导法则计算导函数 $f^{\prime }(x)$。
2. 通过导函数的符号变化区间来判定原函数的单调区间。
3. 结合条件 $\frac{a}{r}=400$ 及导数为零的点，求出在 $(0,+\infty )$ 内的极值。

✅【答案】

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因此，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的极值为极大值 $100$（无极小值）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数的定义域为 $\{x\mid x\ne -r\}$（或 $(-\infty ,-r)\cup (-r,+\infty )$）。 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{a(x+r{)}^2-ax\cdot 2(x+r)}{(x+r{)}^4}=\frac{a(x+r-2x)}{(x+r{)}^3}=\frac{a(r-x)}{(x+r{)}^3}$。 因为 $a>0,r>0$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 解得 $x=r$。

• 当 $x<-r$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；
• 当 $-r<x<r$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x>r$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。 综上所述，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-r,r)$；单调递减区间为 $(-\infty ,-r)$ 和 $(r,+\infty )$。

(2) 若 $\frac{a}{r}=400$，由（1）知，在 $(0,+\infty )$ 内，当 $x\in (0,r)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，当 $x\in (r,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。 所以在 $x=r$ 处，$f(x)$ 取得极大值。 极大值为： $f(r)=\frac{ar}{(r+r{)}^2}=\frac{ar}{4r^2}=\frac{a}{4r}$。 因为 $\frac{a}{r}=400$， 所以 $f(r)=\frac{400}{4}=100$。 因此，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的极值为极大值 $100$（无极小值）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数法求单调区间、极值。
2. 核心方法：严格按导数符号分类讨论。
3. 避坑指南：求导时需注意分子化简的准确性，且定义域内使导数为零的点不一定是极值点（需结合两侧导数符号异号判断）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴题常考模式。
2. 结论推广: 推广至含多个参数的有理分式函数的单调性与最值综合研究。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2009-安徽卷理-20
• 2025-北京卷-15 填-函数性质
• 2025-北京卷-20 解-导数综合