2015-安徽卷理-03 单-充分必要条件

本题导读

本题考查常用逻辑用语中的充要条件判定，结合指数运算。关键点在于将复杂的判断转化为对两个集合范围包含关系的讨论。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 设 $p:1<x<2$，$q:2^x>1$，则 $p$ 是 $q$ 成立的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 化简条件 $q$：将指数不等式 $2^x>1$ 转化为 $x$ 的范围。
2. 比较集合范围：将条件 $p$ 和 $q$ 看作集合 $P$ 和 $Q$，分析 $P\subseteq Q$ 或 $Q\subseteq P$ 是否成立。
3. 判定逻辑关系：
   • 若 $P\subseteq Q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件。
   • 若 $Q⊈P$，则 $p$ 不是 $q$ 的必要条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式 $q$ 由 $2^x>1$ 知 $2^x>2^0$。 因为底数 $2>1$，函数 $y=2^x$ 单调递增， 所以 $x>0$。 即 $q:x\in (0,+\infty )$。

第二步：分析充分性 ($p⟹q$) 已知 $p:x\in (1,2)$。 因为区间 $(1,2)$ 是区间 $(0,+\infty )$ 的子集， 所以当 $1<x<2$ 时，$x>0$ 恒成立。 即 $p$ 能推出 $q$，充分性成立。

第三步：分析必要性 ($q⟹p$) 若 $q$ 成立，即 $x>0$。例如取 $x=3$。 此时满足 $x>0$，但不满足 $1<x<2$。 即 $q$ 不能推出 $p$，必要性不成立。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 集合论观点看充要条件：
   • $p⟹q⟺P\subseteq Q$（小范围 $⟹$ 大范围：充分）；
   • $q⟹p⟺Q\subseteq P$（大范围 $⟹$ 小范围：必要）。
2. 避坑指南：在解指数或对数不等式时，务必注意底数与 $1$ 的大小关系，这决定了单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将 $q$ 改为 $2^x>4$，结果如何？ (提示：此时 $q:x>2$。$p$ 无法推出 $q$，$q$ 无法推出 $p$，结果为 D。)

🔗【关联脉络】

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A

类题演练(Links)

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