2015-安徽卷理-05 单-线线位置关系

本题导读

本题考查空间中点、线、面位置关系的真假命题判断。要求学生熟练掌握立体几何中的平行与垂直判定定理，并能灵活运用反例（如长方体模型）或逻辑转化（逆否命题）来验证结论。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 已知 $m,n$ 是两条不同直线，$\alpha ,\beta$ 是两个不同平面，则下列命题正确的是 ()

A. 若 $\alpha ,\beta$ 垂直于同一平面，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行

B. 若 $m,n$ 平行于同一平面，则 $m$ 与 $n$ 平行

C. 若 $\alpha ,\beta$ 不平行，则在 $\alpha$ 内不存在与 $\beta$ 平行的直线

D. 若 $m,n$ 不平行，则 $m$ 与 $n$ 不可能垂直于同一平面

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 项：考虑墙角模型（教室的两个相邻墙面均垂直于地面），寻找反例。
2. 分析 B 项：在空间中，平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交或异面。
3. 分析 C 项：利用线面平行的判定定理。若两平面相交，则一个平面内平行于交线的直线必平行于另一个平面。
4. 分析 D 项：考虑其逆否命题：“若 $m,n$ 垂直于同一平面，则 $m//n$”。根据垂直于同一平面的两条直线平行的性质定理进行判定。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定 A 选项 若平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma$，$\beta \perp$ 平面 $\gamma$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 可能平行（如长方体相对的侧面），也可能相交（如长方体相邻的侧面）。 故 A 错误。

第二步：判定 B 选项 若直线 $m//$ 平面 $\alpha$，$n//$ 平面 $\alpha$，直线 $m,n$ 可以在空间中呈任何位置关系（平行、相交或异面）。 故 B 错误。

第三步：判定 C 选项 若 $\alpha ,\beta$ 不平行，则它们必相交，设交线为 $l$。在平面 $\alpha$ 内取任何一条平行于 $l$ 的直线 $a$，由于 $a\subset \alpha ,a//l,l\subset \beta$，由线面平行的判定定理可知 $a//\beta$。 因此 $\alpha$ 内存在与 $\beta$ 平行的直线。 故 C 错误。

第四步：判定 D 选项 该命题的逆否命题为：“若 $m,n$ 垂直于同一个平面，则 $m//n$”。 根据空间中垂直于同一平面的两条直线平行的性质定理可知，该逆否命题是真命题。 因为原命题与其逆否命题等价，所以原命题正确。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 模型思维：利用长方体作为载体是解决立体几何选择题的捷径。长方体的棱、面涵盖了空间中几乎所有的平行与垂直关系。
2. 逻辑转化：当一个命题含有“不”、“不可能”等否定词时，将其转化为逆否命题往往能让判断变得直接清晰。
3. 避坑指南：线线平行的传递性成立（$a//b,b//c⟹a//c$），但线面平行、面面垂直的类似“传递性”通常不成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于 C 项，若平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 夹角为 $\theta$，则 $\alpha$ 内所有与交线成 $\theta$ 角的直线与 $\beta$ 的位置关系如何？
• 能力提升：请尝试证明 D 项的逆否命题（利用线面垂直的定义与反证法）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2013年安徽卷理-19
• 2012-安徽卷理-06
• 2012-安徽卷理-18