2015-安徽卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题考查概率统计的综合应用。第一问是基础的古典概型计算；第二问要求构建随机变量的分布列，关键在于准确识别试验结束的触发条件（2件次品或3件正品），并由此确定检测次数的取值范围及其对应的概率。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(理)） 已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束.

(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2) 已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 $X$ 表示直到检测结束时所需要的检测费用（单位：元），求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（条件概率/乘法路径）：
   • 总共有 5 件产品（2次3正）。
   • 计算“次-正”序列的概率，即 $P=\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}$。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定 $X$ 的取值：最快 2 次结束（连抽 2 次品），费用 200；最慢 4 次结束（抽完第 4 件时必能满足其中一个结束条件），费用 400。
   • 计算各概率：
     • $P(X=200)$：前两次均为次品。
     • $P(X=300)$：第三次结束。包括“次-正-次”或“正-次-次”或连抽“3正”。
     • $P(X=400)$：第四次结束。通常利用 $1-P(X=200)-P(X=300)$ 简化计算。
   • 列分布列并算期望：利用 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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故 $X$ 的均值为 350

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求“次-正”序列的概率 记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 $A$。 由分步计数原理或排列组合公式得： $P(A)=\frac{A_2^1{A}_3^1}{A_5^2}=\frac{2\times 3}{5\times 4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。

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(2) 求 $X$ 的分布列和期望 由题意，每件费用 100 元。检测次数最少为 2 次，最多为 4 次。 所以 $X$ 的可能取值为：$200,300,400$。

1. 计算 $P(X=200)$： 表示前两次检测出的都是次品，试验结束。 $P(X=200)=\frac{A_2^2}{A_5^2}=\frac{2\times 1}{5\times 4}=\frac{1}{10}$。

2. 计算 $P(X=300)$： 表示第三次检测后结束。分两种情况： ① 前两次抽到 1 次 1 正，第三次抽到次品（凑够 2 次品）：$P_1=\frac{C_2^1{C}_3^1{A}_2^2}{A_5^3}=\frac{2\times 3\times 2}{5\times 4\times 3}=\frac{12}{60}=\frac{2}{10}$； ② 前三次抽到的都是正品（凑够 3 正品）：$P_2=\frac{A_3^3}{A_5^3}=\frac{3\times 2\times 1}{5\times 4\times 3}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$。 所以 $P(X=300)=\frac{2}{10}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}$。

3. 计算 $P(X=400)$： $P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-\frac{1}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}$。

4. 列分布列：

$X$	200	300	400
$P$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$

5. 计算期望 $E(X)$： $E(X)=200\times \frac{1}{10}+300\times \frac{3}{10}+400\times \frac{6}{10}=20+90+240=350$（元）。

故 $X$ 的均值为 350。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 边界判定：本面试验为什么不会持续 5 次？因为只有 2 件次品，若抽到 4 次还没抽完 3 件正品，则手中必已拿到了 2 件次品，试验必然在第 4 次或之前结束。
2. 排列与组合的统一：在计算概率时，分母选 $A$ 则分子也必须用 $A$（考虑顺序），分母选 $C$ 则分子也用 $C$（不计顺序，通常用于一次取多件），本题属逐个取出，用排列更直观。
3. 避坑指南：计算 $P(X=300)$ 时，注意“凑够次品”的情况必须是：前两次中有一个次品，第三次必须是次品。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以直接设检测次数为 $\xi$，求出 $E(\xi )=2\times 0.1+3\times 0.3+4\times 0.6=3.5$，则 $E(X)=100E(\xi )=350$。
• 变式思考: 若改为“放回检测”，随机变量 $X$ 的期望会变大还是变小？ (提示：放回会使得凑够特定数量的过程变长，期望会显著增大。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练(Links)

• 2012-安徽卷理-17
• 2009-安徽卷理-17
• 2013年安徽卷理-21