2015-山东卷理-09 单-直线与圆

本题导读

考查光线反射原理及直线与圆相切的条件，通过对称点将反射问题转化为点到直线的距离问题。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 一条光线从点 $(-2,-3)$ 射出，经 $y$ 轴反射后与圆 $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为 ()

A. $-\frac{5}{3}$ 或 $-\frac{3}{5}$　B. $-\frac{3}{2}$ 或 $-\frac{2}{3}$　C. $-\frac{5}{4}$ 或 $-\frac{4}{5}$　D. $-\frac{4}{3}$ 或 $-\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出点 $(-2,-3)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $A^{\prime }(2,-3)$。
2. 设反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解斜率 $k$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

点 $(-2,-3)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A^{\prime }(2,-3)$。 设反射光线所在直线方程为 $y+3=k(x-2)$，即 $kx-y-2k-3=0$。 圆 $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=1$ 的圆心为 $(-3,2)$，半径 $r=1$。 由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径： $\frac{|k(-3)-2-2k-3|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=1$ $\frac{|-5k-5|}{\sqrt{k^2+1}}=1⟹25(k+1{)}^2=k^2+1$ $25k^2+50k+25=k^2+1⟹24k^2+50k+24=0$ 化简得 $12k^2+25k+12=0$，即 $(3k+4)(4k+3)=0$。 解得 $k=-\frac{4}{3}$ 或 $k=-\frac{3}{4}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相切、对称轴反射原理。
2. 核心方法：对称转化法、点到直线距离公式。
3. 避坑指南：注意直线的斜率是否存在或是否会有遗漏（本题中两种斜率均存在）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解析几何中的经典综合题。
2. 结论推广: 光线反射问题通常转化为对称点连线或过对称点的直线系问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2013年山东卷理-9
• 2012年山东卷理-9
• 2016-山东卷理-14