2015-山东卷理-16 解-三角恒等变换

本题导读

考查三角函数的恒等变换及其性质（单调区间），以及在解三角形中结合三角方程求三角形面积的最大值，属于高考解答题中的中档综合题。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(理)） 设 $f(x)=\sin x\cos x-{\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 在锐角 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.若 $f\left(\frac{A}{2}\right)=0$，$a=1$，求 $△ABC$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用二倍角公式和降幂公式、辅助角公式将 $f(x)$ 化简为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式，再利用整体代换法求单调区间。
2. 第 (2) 问：由 $f\left(\frac{A}{2}\right)=0$ 解出角 $A$，再结合余弦定理及三角形为锐角三角形的限制条件求出 $b,c$ 的范围或乘积最大值，最后利用面积公式求最大值。

✅【答案】

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因此，$△ABC$ 面积的最大值为 $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 化简函数 $f(x)$： $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{1-\sin 2x}{2}$ 因此，$f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1-\sin 2x}{2}=\sin 2x-\frac{1}{2}$。

令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 解得：$-\frac{\pi }{4}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{4}+k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi \right]$ ($k\in \mathbf{Z}$)。 同理，由 $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)， 解得：$\frac{\pi }{4}+k\pi \le x\le \frac{3\pi }{4}+k\pi$ ($k\in \mathbf{Z}$)。 故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{3\pi }{4}+k\pi \right]$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

(2) 由 $f\left(\frac{A}{2}\right)=0$，得 $\sin A-\frac{1}{2}=0⟹\sin A=\frac{1}{2}$。 因为 $△ABC$ 为锐角三角形，所以 $A=\frac{\pi }{6}$。 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，且 $a=1$，$A=\frac{\pi }{6}$，得： $1=b^2+c^2-2bc\cos \frac{\pi }{6}=b^2+c^2-\sqrt{3}bc$。 因为 $b^2+c^2\ge 2bc$，所以 $1\ge 2bc-\sqrt{3}bc=(2-\sqrt{3})bc$， 即 $bc\le \frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$（当 $b=c$ 时取等号）。 又因为 $△ABC$ 为锐角三角形，需满足 $B<\frac{\pi }{2}$ 且 $C<\frac{\pi }{2}$，经检验 $b=c$ 时满足锐角条件。 三角形的面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{4}bc$。 因此，$△ABC$ 面积的最大值为 $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换、正余弦定理、三角形面积最值。
2. 核心方法：函数化归思想、不等式放缩法。
3. 避坑指南：第 (2) 问中必须严格检验 $△ABC$ 是否为锐角三角形，防止增根或不合题意的极值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解答题常规的三角函数与解三角形综合题。
2. 结论推广: 结合基本不等式求 $bc$ 最值是解决三角形面积问题的经典套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.04 三角形面积公式

类题演练(Links)

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