2015-广东卷文-04 单-线性规划

本题导读

三条直线围成的三角形可行域，三个顶点代 $z=2x+3y$ 比大小。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y⩽2,\\ x+y⩾0,\\ x⩽4,\end{array}$ 则 $z=2x+3y$ 的最大值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $10$

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三条直线围成的三角形可行域，三个顶点代 $z=2x+3y$ 比大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

可行域顶点：$A(-2,2)$（$x+2y=2$ 与 $y=-x$ 的交点）、$B(4,-1)$（$x=4$ 与 $x+2y=2$ 的交点）、$C(4,-4)$（$x=4$ 与 $y=-x$ 的交点）。

代入 $z=2x+3y$：$A$ 点 $z=-4+6=2$；$B$ 点 $z=8-3=5$；$C$ 点 $z=8-12=-4$。

故最大值为 $5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的图解法

核心方法：求可行域顶点、比较目标函数值

避坑指南：（1）$x+y⩾0$ 即 $y⩾-x$，可行域在直线 $y=-x$ 上方，别取错侧；（2）顶点 $C(4,-4)$ 使 $z$ 最小而非最大，别顺手选 $-4$；（3）三个顶点都要算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划选择题的标准难度版本，约束条件含一条竖直线 $x⩽4$。

结论推广：若把 $z$ 改为 $2x-3y$，最大值移到 $C(4,-4)$ 处 $z=20$——目标函数法向量方向决定最优顶点。

方法推广：“顶点比较法”万能；斜率相同的目标函数直线越靠法向量正向越优。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2015-广东卷理-6
• 2014-广东卷理-03 单-线性规划
• 2013年广东卷理-13