2015-广东卷理-03 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数奇偶性的基本概念和判定。通过对四个选项中的函数分别代入 $-x$ 进行验证，判定其是否满足 $f(-x)=f(x)$（偶函数）或 $f(-x)=-f(x)$（奇函数），考查学生对基本初等函数性质的掌握。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ()

A. $y=x+e^x$　B. $y=x+\frac{1}{x}$　C. $y=2^x+\frac{1}{2^x}$　D. $y=\sqrt{1+x^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾定义：
   • 奇函数：$f(-x)=-f(x)$ 且定义域关于原点对称。
   • 偶函数：$f(-x)=f(x)$ 且定义域关于原点对称。
   • 非奇非偶函数：不满足上述任何一个关系。
2. 逐项验证：将各选项中的 $x$ 替换为 $-x$，计算并比对结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• A 选项：设 $f(x)=x+e^x$。 $f(-x)=-x+e^{-x}=-x+\frac{1}{e^x}$。 易知 $f(-x)\ne f(x)$ 且 $f(-x)\ne -f(x)$。 故该函数为非奇非偶函数。

• B 选项：设 $f(x)=x+\frac{1}{x}$。 $f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$。 故该函数为奇函数。

• C 选项：设 $f(x)=2^x+\frac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}$。 $f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^{-x}+2^x=f(x)$。 故该函数为偶函数。

• D 选项：设 $f(x)=\sqrt{1+x^2}$。 $f(-x)=\sqrt{1+(-x{)}^2}=\sqrt{1+x^2}=f(x)$。 故该函数为偶函数。

最终答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基础图形感知：
   • 幂函数 $x^n$：$n$ 为奇数时是奇函数，$n$ 为偶数时是偶函数。
   • 指数函数 $a^x$：本身非奇非偶，但 $a^x+a^{-x}$ 构造成偶函数，$a^x-a^{-x}$ 构造成奇函数。
2. 复合/加减性质：
   • 奇 + 奇 = 奇；偶 + 偶 = 偶。
   • 奇 + 偶 = 非奇非偶（本题 A 选项中 $x$ 是奇，$e^x$ 是非奇非偶，相加即为非奇非偶）。
3. 前提条件：判定奇偶性前必须确认定义域是否关于原点对称。本题四个选项定义域均为 $\mathbb{R}$ 或 $\{x|x\ne 0\}$，均对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广:
  • 任何一个定义域关于原点对称的函数 $f(x)$ 都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和：$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$。
• 方法推广:
  • 图像观察法：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 $y$ 轴对称。
• 相关知识点:
  • 分段函数奇偶性：每一段必须满足对应关系，且 $0$ 处的取值有特殊要求（若 $x=0$ 有定义，奇函数必有 $f(0)=0$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-03 单-线性规划
• 2011-广东卷理-04
• 2013年广东卷理-2