2015-广东卷理-05 单-圆的切线

本题导读

本题考查平行直线的表示方法以及直线与圆相切的判定条件。核心逻辑是利用待定系数法设出平行直线系方程，再根据“圆心到直线的距离等于半径”这一几何性质建立等式求解常数项。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 平行于直线 $2x+y+1=0$ 且与圆 $x^2+y^2=5$ 相切的直线方程是 ()

A. $2x-y+\sqrt{5}=0$ 或 $2x-y-\sqrt{5}=0$

B. $2x+y+\sqrt{5}=0$ 或 $2x+y-\sqrt{5}=0$

C. $2x-y+5=0$ 或 $2x-y-5=0$

D. $2x+y+5=0$ 或 $2x+y-5=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设方程：由于所求直线平行于 $2x+y+1=0$，可设其方程为 $2x+y+C=0$（其中 $C\ne 1$）。
2. 找圆心与半径：圆 $x^2+y^2=5$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=\sqrt{5}$。
3. 利用相切条件：直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离 $d$ 等于半径 $r$。
4. 计算求解：代入点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，求出 $C$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 设定目标直线方程： 设所求直线方程为 $2x+y+C=0$。

2. 确定圆的几何参数： 圆 $x^2+y^2=5$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径 $r=\sqrt{5}$。

3. 建立距离等式： 根据直线与圆相切的性质，$d=r$，即： $\frac{|2\times 0+1\times 0+C|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$

4. 化简求解： $\frac{|C|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ $|C|=5⟹C=\pm 5$

5. 得出结论： 所求直线方程为 $2x+y+5=0$ 或 $2x+y-5=0$。

最终答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平行直线系的表达：平行于 $Ax+By+C_0=0$ 的直线系方程为 $Ax+By+C=0$。通过保持 $x,y$ 的系数比例不变，可以快速锁定选项范围（排除 A、C）。
• 相切的判定：处理直线与圆的问题，“几何法”（$d$ 与 $r$ 的关系）通常比“代数法”（联立方程判别式 $\Delta$）计算量更小，更不容易出错。
• 双解性：在一个圆的切线中，给定斜率（或平行于已知直线）的切线通常成对出现，且关于圆心对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 与圆 $x^2+y^2=R^2$ 相切且斜率为 $k$ 的直线方程公式为 $y=kx\pm R\sqrt{1+k^2}$。
• 方法推广:
  • 垂直直线系：若题目要求“垂直于”，则方程设为 $x-2y+C=0$。
• 相关知识点:

  • - **点到直线的距离公式**：熟记公式的分母是系数的平方和开根号，分子是点代入方程后的绝对值。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2013年广东卷理-14
• 2013年广东卷理-20