本题导读
本题考查简单线性规划问题。核心在于通过约束条件正确画出平面可行域，并利用线性目标函数的几何意义（截距法），通过平移直线寻找使目标函数取得最小值的最优解点。
📌【题干】
Question
（2015年广东卷(理)） 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 画出可行域：在直角坐标系中，根据五个不等式画出对应的直线，并确定公共部分。
- 分析目标函数：将 转化为斜截式 。由于 对应直线在 轴上的截距，且系数为正，故 越小，直线在 轴上的截距越小。
- 寻找最优解：平移直线 ，观察直线进入可行域时最先接触到的顶点。
- 计算最值：确定最优解点的坐标，代入 的表达式计算。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
确定可行域的边界：
可行域是一个四边形区域（注意 与 的交点为 ，在 范围内）。
锁定顶点坐标： 观察图象，目标函数 的斜率为 ，而边界线 的斜率为 。 因为 ，直线 较“陡”。 平移该直线，当直线经过可行域最左下方的点时， 取得最小值。 该点为 与 的交点。 联立方程： 。 最优解点为 。 (注意：另一个可能的低点是 ，但该点不在可行域内，因为当 时，，而 范围是 。但在 附近，由于 限制，当 时 必须 )。
计算最小值： 将 代入 ： 。
最终答案为：C 
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 图解法的关键：准确画图并比较斜率。如果斜率关系判断错误，很容易误选顶点 （不满足第一条）或 （在 范围内但 值可能不是最小）。
- 截距的意义：对于 ，若 ，则 随截距同向变化；若 ，则反向变化。
- 计算陷阱：本题中 这条线虽然是边界，但由于 的限制，可行域的底部是被斜线切掉一部分的，最小值点往往就在这种“转折处”。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 结论推广: 如果要求 的最大值，平移直线到最右上方，经过顶点 ，此时 。
- 方法推广:
- 顶点代入法：如果可行域是封闭的多边形，线性目标函数的最值一定在顶点处取得。可以求出所有顶点坐标 ，通过一一代入比较。
- 相关知识点:
- **非线性目标函数**：如 $z = x^2 + y^2$（距离平方）或 $z = \frac{y}{x}$（斜率）。
🔗【关联脉络】
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