2015-广东卷理-07 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线标准方程的求解。核心在于根据给出的右焦点坐标确定半焦距 $c$，再结合离心率 $e$ 的定义求出实半轴 $a$，最后利用双曲线基本量关系 $c^2=a^2+b^2$ 确定虚半轴 $b$，从而写出标准方程。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） 已知双曲线 $C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率 $e=\frac{5}{4}$，且其右焦点 $F_2(5,0)$，则双曲线 $C$ 的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 获取基本量 $c$：右焦点为 $(5,0)$，说明双曲线中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，且半焦距 $c=5$。
2. 利用离心率求 $a$：根据离心率定义 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，代入 $c$ 的值解出 $a$。
3. 计算 $b^2$：利用双曲线中三个基本量的平方关系 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $b^2$。
4. 确定方程：将 $a^2$ 和 $b^2$ 代入标准方程格式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定 $c$ 的值： 由右焦点 $F_2(5,0)$ 可知，该双曲线焦点在 $x$ 轴上，且 $c=5$。

2. 求解 $a$ 的值： 因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{a}=\frac{5}{4}$， 解得 $a=4$，则 $a^2=16$。

3. 求解 $b^2$ 的值： 在双曲线中，$c^2=a^2+b^2$， 所以 $b^2=c^2-a^2=5^2-4^2=25-16=9$。

4. 写出标准方程： 将 $a^2=16,b^2=9$ 代入方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，得： $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

最终答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$；椭圆中 $a^2=b^2+c^2$。两者极易混淆，需牢记双曲线中焦距最长。
• 几何意义：离心率 $e$ 衡量双曲线开口的开阔程度，$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$。
• 易错点：计算出 $a=4,b=3$ 后，注意方程分母应为平方值 $16$ 和 $9$，不要直接填入 $4$ 和 $3$（如选项 A 所示）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若已知双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 且过某定点，亦可用待定系数法设方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$。
• 相关知识点:
  • 渐近线方程：该双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{3}{4}x$。

  • - **等轴双曲线**：当 $a=b$ 时，离心率 $e = \sqrt{2}$，渐近线互相垂直。
    

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2013年广东卷理-7
• 2014-广东卷理-04 单-双曲线方程
• 2014-广东卷理-14 填-极坐标互化