2015-新课标I卷理-08 单-余弦函数

本题导读

本题考查根据三角函数的部分图像确定其解析式，并求解其单调递减区间。核心在于通过图像特征（零点、周期）锁定参数，再结合余弦函数的性质进行区间推导。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi )$ 的部分图像如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为 ()

A. $(k\pi -\frac{1}{4},k\pi +\frac{3}{4}),k\in \mathbb{Z}$　　　　　B. $(2k\pi -\frac{1}{4},2k\pi +\frac{3}{4}),k\in \mathbb{Z}$

C. $(k-\frac{1}{4},k+\frac{3}{4}),k\in \mathbb{Z}$　　　　　D. $(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}),k\in \mathbb{Z}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定周期与 $\omega$：观察图像，相邻两个零点（与 $x$ 轴交点）之间的距离为半个周期 $\frac{T}{2}$。计算 $\frac{5}{4}-\frac{1}{4}$ 得到 $\frac{T}{2}$，进而求出 $T$ 和 $\omega$。
2. 确定初相 $\varphi$：利用图像上的特殊点（如第一个零点 $\frac{1}{4}$ 处于下降过程）代入解析式，结合五点作图法的相位特征求出 $\varphi$。
3. 求减区间：利用余弦函数 $y=\cos t$ 的减区间为 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$，采用“整体代换法”解出 $x$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定解析式参数

1. 求 $\omega$： 由图可知，$\frac{T}{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1$，则 $T=2$。 根据 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，解得 $\omega =\frac{2\pi }{2}=\pi$。 此时 $f(x)=\cos (\pi x+\varphi )$。

2. 求 $\varphi$： 图像过点 $(\frac{1}{4},0)$，且由图可见该点是余弦曲线从最大值向最小值过渡的第一个零点。 按照五点法，此时相位应满足 $\pi \cdot \frac{1}{4}+\varphi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。 取 $k=0$，得 $\frac{\pi }{4}+\varphi =\frac{\pi }{2}⟹\varphi =\frac{\pi }{4}$。 故解析式为 $f(x)=\cos (\pi x+\frac{\pi }{4})$。

第二步：求解单调递减区间

令 $t=\pi x+\frac{\pi }{4}$。余弦函数 $y=\cos t$ 的单调递减区间满足： $2k\pi ⩽\pi x+\frac{\pi }{4}⩽2k\pi +\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 各部分同时减去 $\frac{\pi }{4}$： $2k\pi -\frac{\pi }{4}⩽\pi x⩽2k\pi +\frac{3\pi }{4}$ 各部分同时除以 $\pi$： $2k-\frac{1}{4}⩽x⩽2k+\frac{3}{4},k\in \mathbb{Z}$。

最终答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 周期观察技巧：图像上相邻波峰与波谷横坐标之差为 $\frac{T}{2}$，相邻零点之差也是 $\frac{T}{2}$。
2. 五点法对应关系：
   • $\cos t=1$（波峰）对应 $t=2k\pi$
   • $\cos t=0$（下降零点）对应 $t=\frac{\pi }{2}+2k\pi$
   • $\cos t=-1$（波谷）对应 $t=\pi +2k\pi$
3. 整体代换：处理 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$ 的性质时，始终将括号内整体看作 $t$，根据标准函数的性质解不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广:
  • 若要求单调递增区间，则令 $2k\pi -\pi ⩽\pi x+\frac{\pi }{4}⩽2k\pi$。
• 方法推广:
  • 特殊值排除法：观察图像可知 $x=0$ 时函数值大于 0，且在 $x=0$ 附近递减。代入 A、C 选项，$x=0$ 在 $k=0$ 的区间内，符合；代入 B、D 选项，$x=0$ 亦符合。需结合周期 $T=2$ 排除 A、C（周期为 $\pi$）。
• 相关知识点:

  • - **相位变换**：$\phi$ 决定了图像的左右平移。
    

  • 周期性：$\omega$ 决定了图像的伸缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.05 导数大题中的“六大核心函数”图像与性质

类题演练(Links)

• 2025-上海卷-05 填-余弦函数的值域
• 2025-天津卷-08 单-三角函数图像与性质
• 2014-山东卷理-16 解-向量坐标运算