2015-新课标I卷理-12 单-导数综合

本题导读

本题是 2015 年新课标 1 卷理科的选择题压轴题。考查了导数背景下的函数图像分析以及“存在唯一整数”这一特殊的约束条件。解题核心在于将不等式转化为两个函数图像的上下位置关系，并通过特殊整数点的函数值限制参数范围。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 设函数 $f(x)=e^x(2x-1)-ax+a$，其中 $a<1$.若存在唯一的整数 $x_0$ 使得 $f(x_0)<0$，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $[-\frac{3}{2e},1)$　　B. $[-\frac{3}{2e},\frac{3}{4})$　　C. $[\frac{3}{2e},\frac{3}{4})$　　D. $[\frac{3}{2e},1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造函数与分离：将 $f(x)<0$ 变形为 $e^x(2x-1)<a(x-1)$。令 $g(x)=e^x(2x-1)$，$h(x)=a(x-1)$。问题转化为：函数 $g(x)$ 的图像在直线 $h(x)$ 的下方时，对应的横坐标 $x$ 范围内有且只有一个整数 $x_0$。
2. 分析 $g(x)$ 的性态：求导确定 $g(x)$ 的单调性、极小值点以及特殊整数点（如 $x=0,1,-1$）的函数值。
3. 分析直线 $h(x)$：直线 $y=a(x-1)$ 恒过定点 $(1,0)$，斜率为 $a$。
4. 数形结合锁定唯一整数：
   • 观察发现 $g(1)=e(2-1)=e>0$，而 $h(1)=0$，故 $x=1$ 处 $g(x)>h(x)$，不满足。
   • 观察 $x=0$ 处，$g(0)=-1$。若 $x=0$ 是唯一的整数，则需满足 $h(0)>g(0)$。
   • 观察 $x=-1$ 处，$g(-1)=-3e^{-1}$。若要保证唯一性，需满足 $h(-1)⩽g(-1)$（即直线在点下方或经过该点）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：研究函数 $g(x)$ 的性质

$g(x)=e^x(2x-1)$，求导得： $g^{\prime }(x)=e^x(2x-1)+e^x(2)=e^x(2x+1)$。

• 当 $x<-\frac{1}{2}$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；

• 当 $x>-\frac{1}{2}$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 极小值点为 $x=-\frac{1}{2}$，$g(-\frac{1}{2})=e^{-1/2}(-2)=-\frac{2}{\sqrt{e}}\approx -1.21$。

第二步：分析直线 $h(x)=a(x-1)$

直线恒过 $A(1,0)$。由于 $a<1$，直线斜率较平缓。 计算特殊整数点的 $g(x)$ 值：

• $g(0)=-1$
• $g(-1)=-3e^{-1}=-\frac{3}{e}\approx -1.10$
• $g(1)=e\approx 2.718$

第三步：确定唯一整数 $x_0$

由图象可知，直线 $y=a(x-1)$ 经过 $(1,0)$。

1. 若 $x_0=0$ 是唯一的整数： 则在 $x=0$ 处，直线必须在曲线下方，即 $h(0)>g(0)$： $a(0-1)>-1⟹-a>-1⟹a<1$。
2. 保证 $x=-1$ 不满足条件： 直线在 $x=-1$ 处必须在曲线下方或经过曲线，即 $h(-1)⩽g(-1)$： $a(-1-1)⩽-3e^{-1}⟹-2a⩽-\frac{3}{e}⟹a⩾\frac{3}{2e}$。
3. 验证其他整数： 当 $x⩽-2$ 时，$g(x)$ 逐渐趋近于 $0$，而直线 $h(x)$ 随 $x$ 减小而减小（当 $a>0$ 时），不会再有交点使得曲线在直线下方。当 $x⩾1$ 时，$g(x)$ 增长极快，直线斜率 $a<1$ 无法追赶。

综合得：$\frac{3}{2e}⩽a<1$。

最终答案为：D 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数形结合的边界处理：在处理“唯一整数”问题时，边界点（如本题的 $x=-1$）是否能取等号是得分的关键。通常遵循“包含目标点用严格不等号，排除相邻点用包含等号”的原则。
2. 直线的旋转：将直线看作绕定点 $(1,0)$ 旋转的横杆，通过调整斜率 $a$ 来控制“扫过”的整数点。
3. 估值能力：需熟知 $e\approx 2.718$，从而判定 $-\frac{3}{e}$ 与 $-1$ 的大小关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若题目改为“存在两个整数解”，则需直线进一步下压，使得 $h(-1)>g(-1)$ 且 $h(-2)⩽g(-2)$。
• 方法推广:
  • 分离参数法：本题亦可变形为 $a>\frac{e^x(2x-1)}{x-1}$ ($x<1$)。通过研究右侧新函数的图象及其整数点取值来确定 $a$ 的范围。
• 相关知识点:

  • - **指数爆炸**：$e^x$ 的增长速度远超任何一次函数。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2024-新高考II卷-11 多-三次函数
• 2015-新课标I卷理-21 解-切线方程
• 2025-北京卷-20 解-导数综合