2015-新课标I卷理-17 解-数列通项

本题导读

本题考查数列通项公式的求解及数列求和。第一问通过 $S_n$ 与 $a_n$ 的递推关系，利用作差法构造等差数列；第二问针对分式形式的数列，利用裂项相消法求和，是高考数列板块的经典题型。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_n>0$，$a_n^2+2a_n=4S_n+3$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求通项公式
   • 题目给出 $a_n$ 与 $S_n$ 的混合关系，通常采用“下角标退位”或“进位”法。利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 消去 $S_n$。
   • 写出 $n+1$ 项的关系式，与 $n$ 项关系式相减，整理出 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的递推关系。
   • 注意验证 $n=1$ 的情况求出首项 $a_1$。
2. 第二问：数列求和
   • 将第一问求得的 $a_n$ 代入 $b_n$。
   • 观察 $b_n$ 为分式且分母为等差数列相邻项的乘积，确定使用“裂项相消法”。
   • 裂项公式：$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n+1$；(2) $T_n=\frac{n}{3(2n+3)}$（即 $\frac{n}{6n+9}$）。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式 已知 $a_n^2+2a_n=4S_n+3$ —— ① 则当 $n⩾2$ 时，$a_{n-1}^2+2a_{n-1}=4S_{n-1}+3$ —— ② ① - ② 得：$a_n^2-a_{n-1}^2+2(a_n-a_{n-1})=4(S_n-S_{n-1})=4a_n$。 整理得：$a_n^2-a_{n-1}^2-2a_n-2a_{n-1}=0$ $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})-2(a_n+a_{n-1})=0$ $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-2)=0$。 因为 $a_n>0$，所以 $a_n+a_{n-1}\ne 0$， 故 $a_n-a_{n-1}=2$ ($n⩾2$)，说明 $\{a_n\}$ 是公差 $d=2$ 的等差数列。

求首项 $a_1$： 令 $n=1$，代入原式 $a_1^2+2a_1=4a_1+3⟹a_1^2-2a_1-3=0$。 解得 $a_1=3$ 或 $a_1=-1$（舍去）。 所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3+(n-1)\cdot 2=2n+1$。

(2) 求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 由（Ⅰ）知 $a_n=2n+1$，则 $a_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3$。 $b_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)$。 $T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ $T_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\right]$ $T_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)$ $T_n=\frac{1}{2}\cdot \frac{2n+3-3}{3(2n+3)}=\frac{n}{3(2n+3)}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 递推转通项：处理 $S_n$ 与 $a_n$ 关系的题目，核心是利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$。计算过程中要注意因式分解以简化关系。
2. 裂项抵消规律：裂项相消后，通常剩下“首”和“尾”各一项（或各两项）。要注意检查抵消后项的系数（如本题中的 $1/2$）。
3. 避坑指南：首项 $a_1$ 必须通过原递推式令 $n=1$ 求得，不能盲目假设 $a_0=0$ 或直接从差值推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $a_n$ 是等差数列，则 $\sum \frac{1}{a_n{a}_{n+k}}$ 均可采用裂项相消法求解，其裂项系数为 $\frac{1}{k\cdot d}$。
• 方法推广:
  • 叠乘法：若递推式为 $a_n=f(n)a_{n-1}$，则利用叠乘法求通项。
• 相关知识点:

  • - **二阶递推**：形如 $a_{n+1} = p a_n + q a_{n-1}$ 的特征根法。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

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