2015-新课标I卷理-20 解-直线与抛物线

本题导读

本题是解析几何综合大题。第一问通过联立方程确定交点并利用导数求切线；第二问考查抛物线中的定点问题，核心在于将角相等条件转化为两条直线斜率之和为零，利用韦达定理进行论证。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C：y=\frac{x^2}{4}$ 与直线 $l：y=kx+a$ ($a>0$) 交于 $M,N$ 两点.

(1) 当 $k=0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程；

(2) $y$ 轴上是否存在点 $P$，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$？（说明理由）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：$k=0$ 时，直线为 $y=a$。与抛物线联立求出 $M,N$ 的坐标。利用导数 $y^{\prime }$ 得到切线斜率，结合点斜式写出方程。
2. 第二问：
   • 等角转化：$\angle OPM=\angle OPN$ 且 $P$ 在 $y$ 轴上，意味着直线 $PM$ 与 $PN$ 的倾斜角互补（若斜率存在），即斜率之和 $k_{PM}+k_{PN}=0$。
   • 坐标运算：设 $P(0,b),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$。写出斜率表达式并求和。
   • 联立代换：联立直线 $l$ 与抛物线 $C$，得到关于 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理消去变量。
   • 求解定点：若和为 0 与 $k$ 无关，则可解出 $b$ 的值。

✅【答案】

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故 $y$ 轴上存在点 $P(0,-a)$，使得 $\angle OPM=\angle OPN$ 恒成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $k=0$ 时求切线方程

1. 确定交点： 当 $k=0$ 时，直线方程为 $y=a$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=a\\ y=\frac{x^2}{4}\end{array}⟹x^2=4a⟹x=\pm 2\sqrt{a}$。 故 $M(2\sqrt{a},a),N(-2\sqrt{a},a)$。

2. 利用导数求斜率： 由 $y=\frac{x^2}{4}$ 得 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$。 在点 $M$ 处，斜率 $k_M=\frac{2\sqrt{a}}{2}=\sqrt{a}$； 在点 $N$ 处，斜率 $k_N=\frac{-2\sqrt{a}}{2}=-\sqrt{a}$。

3. 写出方程： 切线 $l_M：y-a=\sqrt{a}(x-2\sqrt{a})⟹\sqrt{a}x-y-a=0$。 切线 $l_N：y-a=-\sqrt{a}(x+2\sqrt{a})⟹\sqrt{a}x+y+a=0$。

(2) 是否存在定点 $P$ 存在点 $P(0,-a)$ 满足条件。证明如下：

1. 联立方程与韦达定理： 联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+a\\ y=\frac{x^2}{4}\end{array}⟹x^2-4kx-4a=0$。 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=4k,x_1{x}_2=-4a$。
2. 分析斜率关系： 设 $P(0,b)$。要使 $\angle OPM=\angle OPN$，由于 $P$ 在 $y$ 轴上，需 $k_{PM}+k_{PN}=0$。 $k_{PM}+k_{PN}=\frac{y_1-b}{x_1}+\frac{y_2-b}{x_2}=\frac{x_2(y_1-b)+x_1(y_2-b)}{x_1{x}_2}$。 分子 $=x_2(k{x}_1+a-b)+x_1(k{x}_2+a-b)$ $=2k{x}_1{x}_2+(a-b)(x_1+x_2)$。
3. 代入韦达定理： 分子 $=2k(-4a)+(a-b)(4k)=-8ak+4ak-4bk=-4ak-4bk=-4k(a+b)$。
4. 求解 $b$： 要使该式对任意 $k$ 恒为 $0$，需 $-4k(a+b)=0$ 恒成立。 则 $a+b=0⟹b=-a$。 故 $y$ 轴上存在点 $P(0,-a)$，使得 $\angle OPM=\angle OPN$ 恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心转化：将“角相等”转化为“斜率之和为零”是解析几何处理对称性问题的常用套路。
• 计算技巧：在处理 $k_1+k_2=0$ 时，分子中出现的 $y_i$ 务必代入直线方程 $y=kx+a$ 而非曲线方程，这样可以极大降低计算量。
• 避坑指南：注意 $a>0$ 的条件。第一问切线斜率含有 $\sqrt{a}$，需保证其意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于抛物线 $x^2=2py$，过定点 $(0,a)$ 的直线与抛物线交于 $M,N$，则 $y$ 轴上点 $(0,-a)$ 满足 $\angle OPM=\angle OPN$。
• 方法推广:
  • 定比分点法：也可以通过考察直线 $MN$ 与 $y$ 轴的交点以及 $P$ 点的调和分割性质来证明。
• 相关知识点:

  • - **抛物线的光学性质**：平行于对称轴的光线经抛物线反射后过焦点。
    

  • 切点弦方程：若 $P$ 是切线交点，则 $MN$ 称为 $P$ 的极线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2023-甲卷文-21 解-抛物线综合
• 2023-甲卷理-20 解-抛物线综合
• 2024-甲卷文-07 单-导数的几何意义