2015-新课标I卷理-21 解-切线方程

本题导读

本题是 2015 年新课标 1 卷理科的数学压轴题。第一问考查导数切线的基础应用；第二问通过 $min$ 函数引入新定义，考查在不同参数 $a$ 下两个超越函数复合结构的零点讨论。题目对分类讨论的严密性和计算能力要求极高，是全卷的最高区分度所在。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 已知函数 $f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4}$，$g(x)=-\ln x$.

(1) 当 $a$ 为何值时，$x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线；

(2) 用 $\min \{m,n\}$ 表示 $m,n$ 中的最小值，设函数 $h(x)=\min \{f(x),g(x)\}$ ($x>0$)，讨论 $h(x)$ 零点的个数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：若 $x$ 轴为切线，则切点 $(x_0,0)$ 满足 $f(x_0)=0$ 且 $f^{\prime }(x_0)=0$。联立方程求解 $a$。
2. 第二问：
   • 结构拆解：$h(x)=0$ 等价于 $f(x)=0$ 且 $g(x)⩾0$，或者 $g(x)=0$ 且 $f(x)⩾0$。
   • 区间划分：由于 $g(x)=-\ln x$ 在 $(1,+\infty )$ 为负，在 $(0,1)$ 为正，且 $g(1)=0$，故以 $x=1$ 为分界点。
   • 分类讨论：
     • 当 $x>1$ 时，$g(x)<0$，则 $h(x)⩽g(x)<0$，此处无零点。
     • 当 $x=1$ 时，$g(1)=0$，若要 $h(1)=0$，需 $f(1)⩾0$。
     • 当 $0<x<1$ 时，$g(x)>0$，零点取决于 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内的根的情况。
   • 导数工具：研究 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的单调性与极值，结合 $f(0)=1/4$ 和 $f(1)=a+5/4$ 进行判断。

✅【答案】

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（1）𝑎=−34；（2）当𝑎<−54或𝑎>−3

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a$ 为何值时，$x$ 轴为切线 设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于点 $P(x_0,0)$。 则满足：$\{\begin{array}{l}f(x_0)=x_0^3+a{x}_0+\frac{1}{4}=0\\ f^{\prime }(x_0)=3x_0^2+a=0\end{array}$ 将 $a=-3x_0^2$ 代入第一个方程： $x_0^3-3x_0^3+\frac{1}{4}=0⟹-2x_0^3=-\frac{1}{4}⟹x_0^3=\frac{1}{8}$。 解得 $x_0=\frac{1}{2}$。 代入求 $a$：$a=-3\times (\frac{1}{2}{)}^2=-\frac{3}{4}$。 故当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，$x$轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线。

(2) 讨论 $h(x)$ 零点的个数 由 $h(x)=\min \{f(x),g(x)\}$ 知：

1. 当 $x\in (1,+\infty )$ 时： $g(x)=-\ln x<0$。则 $h(x)⩽g(x)<0$，此区间内 无零点。
2. 当 $x=1$ 时： $g(1)=0$。若 $x=1$ 是零点，需 $h(1)=\min \{f(1),g(1)\}=0$，即 $f(1)⩾0$。 $f(1)=1+a+\frac{1}{4}=a+\frac{5}{4}$。
   • 当 $a⩾-\frac{5}{4}$ 时，$x=1$ 是一个零点；
   • 当 $a<-\frac{5}{4}$ 时，$x=1$ 不是零点。
3. 当 $x\in (0,1)$ 时： $g(x)=-\ln x>0$。此时 $h(x)=0⟺f(x)=0$。 研究 $f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4}$ 在 $(0,1)$ 内的零点，$f^{\prime }(x)=3x^2+a$。
   • 若 $a⩾0$：$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 递增。$f(0)=\frac{1}{4}>0$，故无零点。
   • 若 $a⩽-3$：$f^{\prime }(1)=3+a⩽0$，则 $f^{\prime }(x)<0$ 在 $(0,1)$ 恒成立，$f(x)$ 递减。 $f(0)=\frac{1}{4},f(1)=a+\frac{5}{4}<0$，必有一个零点。
   • 若 $-3<a<0$：$f(x)$ 在 $(0,\sqrt{-\frac{a}{3}})$ 递减，在 $(\sqrt{-\frac{a}{3}},1)$ 递增。 极小值为 $f(\sqrt{-\frac{a}{3}})=\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}}+\frac{1}{4}$。 令极小值为 0，结合（Ⅰ）可知当 $a=-\frac{3}{4}$ 时极小值为 0。 ① 当 $-\frac{3}{4}<a<0$ 时，极小值 $>0$，无零点。 ② 当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，极小值 $=0$，有一个零点 $x=\frac{1}{2}$。 ③ 当 $-3<a<-\frac{3}{4}$ 时，极小值 $<0$。此时需看端点 $f(1)=a+\frac{5}{4}$。

     • 若 $a\in (-\frac{5}{4},-\frac{3}{4})$，$f(1)>0$，区间内有两个零点。

     • 若 $a=-\frac{5}{4}$，$f(1)=0$，区间内有一个零点（另一个是 $x=1$）。

     • 若 $a\in (-3,-\frac{5}{4})$，$f(1)<0$，区间内有一个零点。

总结结论：

• 当 $a>-\frac{3}{4}$ 时，仅 $x=1$ 为零点，共 1 个；
• 当 $a=-\frac{3}{4}$ 或 $a=-\frac{5}{4}$ 时，共 2 个；
• 当 $-\frac{5}{4}<a<-\frac{3}{4}$ 时，共 3 个；
• 当 $a<-\frac{5}{4}$ 时，$x=1$ 不再是零点，$(0,1)$ 内仅 1 个，共 1 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 新定义理解：$min$ 函数求零点，本质上是找两个函数中任意一个为 0 且另一个不小于 0 的点。
2. 界限思维：$x=1$ 是对数函数的天然分界点，也是分步讨论的逻辑起点。
3. 计算细节：第一问求出的 $a=-3/4$ 恰好是第二问中判断极小值是否触碰 $x$ 轴的关键临界值，这种命题的前后呼应在压轴题中非常普遍。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于 $h(x)=\min \{f(x),g(x)\}$，其零点个数受两函数相对位置和各自零点分布共同影响。
• 方法推广:
  • 数形结合：可以将问题转化为直线 $y=-ax-1/4$ 与曲线 $y=x^3$ 的交点在特定约束下的分布。
• 相关知识点:

  • - **三次函数图象**：对称中心、单调性区间与极值点。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2025-天津卷-20 解-导数综合
• 2015-广东卷理-19 解-导数单调性
• 2022-乙卷理-21