2015-新课标II卷文-04 单-平面向量

本题导读

坐标向量的数量积。先算 $2\vec{a}+\vec{b}$，再与 $\vec{a}$ 作数量积，两步都是纯坐标计算。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知 $\vec{a}=(1,-1)$，$\vec{b}=(-1,2)$，则 $(2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先做线性运算：$2\vec{a}=(2,-2)$，$2\vec{a}+\vec{b}=(1,0)$。
2. 再算数量积：$(1,0)\cdot (1,-1)=1\times 1+0\times (-1)=1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

先作线性运算：

$2\vec{a}+\vec{b}=2(1,-1)+(-1,2)=(2-1,-2+2)=(1,0).$

再求数量积：

$(2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=(1,0)\cdot (1,-1)=1\times 1+0\times (-1)=1.$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标运算；坐标形式的数量积 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

2. 核心方法：“先化简向量、后算数量积”比硬展开 $(2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=2{\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}$ 更稳，不易算错。

3. 避坑指南：① 数量积是”对应坐标相乘再相加”，不是”两向量相乘”；② 展开法里 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2=2$，别漏平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：向量坐标运算是新课标Ⅱ卷选择题的常客，2015 年文理卷均以”线性运算 + 数量积”两步组合出现。

2. 结论推广: 用展开法验证：$2{\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 2+[1\times (-1)+(-1)\times 2]=4-3=1$，与坐标法一致——两条路互为检验。

3. 方法推广: 向量运算的决策顺序：能化成坐标就尽量”坐标化”，把几何问题变成纯算术；涉及模长与夹角时优先用”平方展开”，因为 $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-03 单-向量数量积
• 2018-全国卷II文-04 单-向量数量积