2015-新课标II卷文-05 单-等差数列

本题导读

等差数列下标和性质。三项下标 $1, 3, 5$ 成等差，故它们的和是中间项的 $3$ 倍，一步得 $a_{3} = 1$ ；再看 $S_{5}$ 与 $a_{3}$ 的关系。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)）设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3$ ，则 $S_{5} =$ ()

A. $5$ 　　　　　　　B. $7$ 　　　　　　　C. $9$ 　　　　　　　D. $11$

🔍【思路分析】

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由下标 $1, 3, 5$ 成等差，得 $a_{1} + a_{5} = 2 a_{3}$ ，故 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3 a_{3} = 3$ ， $a_{3} = 1$ 。

等差数列前奇数项和等于中间项乘以项数： $S_{5} = 5 a_{3}$ 。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列的下标和性质：因为 $1 + 5 = 2 \times 3$ ，所以

$a_{1} + a_{5} = 2 a_{3} .$

于是 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3 a_{3} = 3$ ，得 $a_{3} = 1$ .

又等差数列的前 $5$ 项和满足 $S_{5} = \frac{5 ( a _{1} + a _{5} )}{2} = 5 a_{3}$ ，故

$S_{5} = 5 \times 1 = 5.$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的下标和（中项）性质；前 $n$ 项和的中间项表示。

核心方法：“下标和相等则项和相等”是等差数列的核心性质；求 $S_{2 k - 1}$ 时直接换成 $(2 k - 1) a_{k}$ 最快。

避坑指南：① 不要急着求首项与公差——本题不需要，硬算反而慢且易错；② $S_{5} = 5 a_{3}$ 只对奇数项数成立， $S_{6}$ 就不能这样写。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的”整体代换”是新课标Ⅱ卷小题的常客，与 2015 年新课标Ⅱ理第 16 题（同类整体代换）互为呼应。

结论推广: 一般地，若 $m + n = 2 p$ 则 $a_{m} + a_{n} = 2 a_{p}$ ；进一步有 $S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}$ ，这是处理等差前 $n$ 项和最快的通道。

方法推广: 等差数列小题三板斧：① 看下标是否成等差（用中项性质）；② 看是否要求”整体”（如 $S_{n}$ 、若干项之和）；③ 优先用整体代换，避免解方程组。

🔗【关联脉络】

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19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2015-新课标II卷理-16 填-数列通项

2013年新课标Ⅱ理-16

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2015-新课标II卷文-05 单-等差数列

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