2015-新课标II卷文-21 解-导数综合

本题导读

导数压轴（含参单调性 + 参数范围）。第一问按 $a\le 0$ 与 $a>0$ 分类；第二问把”最大值大于 $2a-2$“整理成 $\ln a+a-1<0$，再构造辅助函数用单调性收口。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知 $f(x)=\ln x+a(1-x)$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 当 $f(x)$ 有最大值，且最大值大于 $2a-2$ 时，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）定义域 $x>0$；$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$，导数符号由 $1-ax$ 决定，需对 $a$ 分类。
2. （2）“有最大值”先锁定 $a>0$，最大值在 $x=\frac{1}{a}$ 处取得。
3. 把”最大值 $>2a-2$“化成 $\ln a+a-1<0$，再构造 $g(a)=\ln a+a-1$ 用单调性求范围。

✅【答案】

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(1) 当 $a⩽0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上单调递减

(2) $a\in (0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 函数定义域为 $x>0$。求导：

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}.$

因为 $x>0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的符号由分子 $1-ax$ 决定，按 $a$ 的取值分类讨论：

• 当 $a⩽0$ 时，$-ax⩾0$，故 $1-ax>0$，即 $f^{\prime }(x)>0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；

• 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\frac{1}{a}$：

  • 当 $0<x<\frac{1}{a}$ 时，$1-ax>0$，$f^{\prime }(x)>0$，$f$ 单调递增；
  • 当 $x>\frac{1}{a}$ 时，$1-ax<0$，$f^{\prime }(x)<0$，$f$ 单调递减。

（2） 由（1）知，只有当 $a>0$ 时 $f(x)$ 才既有增区间又有减区间，才有最大值。

此时最大值在 $x=\frac{1}{a}$ 处取得：

$f\left(\frac{1}{a}\right)=\ln \frac{1}{a}+a\left(1-\frac{1}{a}\right)=-\ln a+a-1.$

由题意最大值大于 $2a-2$：

$-\ln a+a-1>2a-2⟹-\ln a-a+1>0⟹\ln a+a-1<0.$

构造函数 $g(a)=\ln a+a-1$（$a>0$），则

$g^{\prime }(a)=\frac{1}{a}+1>0,$

故 $g(a)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。又

$g(1)=\ln 1+1-1=0,$

所以 $g(a)<0⟺a<1$.

又已限定 $a>0$，故

$a\in (0,1).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数研究含参函数的单调性；分类讨论思想；由最值条件反解参数范围。

2. 核心方法：含参单调性的关键是”先求导、再把导数符号问题化为分子的一次不等式”，分类的临界点就是分子零点处参数的变化；第二问一律走”构造函数 + 单调性 + 特殊值”三件套。

3. 避坑指南：① 定义域 $x>0$ 必须先写，否则后面讨论会漏掉边界；② 分类时别漏 $a=0$（本题归入 $a⩽0$），它对应的函数是 $f(x)=\ln x$，确实单调递增；③ 第二问求出的范围必须与"$a>0$"取交集，答案不能写成 $(-\infty ,1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：新课标Ⅱ卷导数压轴长期保持”第一问讨论单调性、第二问由最值或零点求参数范围”的两问结构（2013、2014、2015 年连续如此），是训练分类讨论与构造函数能力的最佳载体。

2. 结论推广: 一般地，”$f(x)$ 的最大值 $>g(a)$“这类条件的处理流程是：先求最值表达式 $f_{\max }$，再把不等式整理成”某函数 $<0$（或 $>0$）“的形式，最后构造该函数并借助单调性与特殊点求范围。若整理后出现 $\ln a$ 与 $a$ 的线性组合，通常取 $a=1$ 作为分界。

3. 方法推广: 含参导数题通用流程：① 写定义域；② 求导并因式分解；③ 找导数零点（含参数时对参数分类）；④ 列单调性表；⑤ 第二问把条件翻译成关于最值的方程或不等式，构造函数用单调性求解。“分类讨论要穷尽且不重复”是评分要点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

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