2015-新课标II卷理-13 填-向量共线

本题导读

本题考查平面向量共线的充要条件。核心在于利用向量平行的定义（存在唯一实数使得一个向量等于另一个向量的常数倍）建立方程组，求解未知参数。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 设向量 $\vec{a},\vec{b}$ 不平行，向量 $\lambda \vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}+2\vec{b}$ 平行，则实数 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解共线定义：若非零向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 平行（共线），则存在实数 $t$，使得 $\vec{m}=t\vec{n}$。
2. 建立等式：根据题意设 $\lambda \vec{a}+\vec{b}=t(\vec{a}+2\vec{b})$。
3. 利用基本定理：由于 $\vec{a},\vec{b}$ 不平行（即不共线），它们可以作为基底。根据平面向量基本定理，对应项的系数必须相等。
4. 求解方程：建立关于 $\lambda$ 和 $t$ 的方程组并求解。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据平行定义设出等式 因为向量 $\lambda \vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}+2\vec{b}$ 平行， 所以存在实数 $t$，使得： $\lambda \vec{a}+\vec{b}=t(\vec{a}+2\vec{b})$ 展开得： $\lambda \vec{a}+\vec{b}=t\vec{a}+2t\vec{b}$

第二步：利用系数对应相等建立方程组 因为 $\vec{a},\vec{b}$ 是不共线的向量，根据向量相等的充要条件，两边的基底系数应分别相等： $\{\begin{array}{l}\lambda =t\\ 1=2t\end{array}$

第三步：求解未知数 由第二个方程得： $t=\frac{1}{2}$ 将 $t$ 代入第一个方程得： $\lambda =\frac{1}{2}$

故答案为：$\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量平行的充要条件 $\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{a}=k\vec{b}$。
• 核心方法：系数比较法。在以不共线向量为基底的表达式中，系数的唯一性是解题的关键。
• 避坑指南：确保比例关系正确。也可以直接利用“对应系数成比例”的结论：$\frac{\lambda }{1}=\frac{1}{2}$，从而直接得出 $\lambda =\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于基底 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$，向量 $m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$ 与 $p\overrightarrow{e_1}+q\overrightarrow{e_2}$ 共线的充要条件是 $mq-np=0$。 *方法推广: 遇到此类线性组合的平行问题，待定系数法是最稳妥的通用方案。

• 相关知识点：平面向量基本定理、向量共线的坐标表示。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练(Links)

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