2015-新课标II卷理-15 填-二项式系数

本题导读

本题考查二项展开式中特定项系数和的求法。核心技巧是利用“赋值法”，通过给自变量 $x$ 赋予特殊值（如 1 和 -1）构造方程组，从而分离出奇数次幂项或偶数次幂项的系数和。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） $(a+x)(1+x{)}^4$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设出展开式：设 $f(x)=(a+x)(1+x{)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$。
2. 理解目标：题目要求奇数次幂项系数之和，即求 $a_1+a_3+a_5$。
3. 构造特殊值：
   • 令 $x=1$，求得各项系数的总和 $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=f(1)$。
   • 令 $x=-1$，求得各项系数的正负交替和 $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=f(-1)$。
4. 利用等式性质：将上述两个等式相减，偶数次幂项被抵消，剩下奇数次幂项的两倍。
5. 建立关于 $a$ 的方程：代入已知数据 32 求解。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：定义函数并赋值 设 $f(x)=(a+x)(1+x{)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$。

• 令 $x=1$，则 $f(1)=(a+1)(1+1{)}^4=16(a+1)$。 即 $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=16(a+1)$ —— ①
• 令 $x=-1$，则 $f(-1)=(a-1)(1-1{)}^4=0$。 即 $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=0$ —— ②

第二步：分离奇数次幂项 由 ① - ② 得： $(a_0-a_0)+(a_1-(-a_1))+(a_2-a_2)+(a_3-(-a_3))+(a_4-a_4)+(a_5-(-a_5))=16(a+1)-0$ $2(a_1+a_3+a_5)=16(a+1)$

第三步：代入已知条件求解 已知奇数次幂项系数之和 $a_1+a_3+a_5=32$，代入上式： $2\times 32=16(a+1)$ $64=16(a+1)$ $4=a+1$ $a=3$

故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：多项式系数和问题的通用解法——赋值法。
• 核心方法：
  • 各项系数之和：令 $x=1$。
  • 偶次项系数之和：$\frac{f(1)+f(-1)}{2}$。
  • 奇次项系数之和：$\frac{f(1)-f(-1)}{2}$。
• 避坑指南：赋值法适用于求特定奇偶项系数和，如果是求某一个特定项（如 $x^3$）的系数，则应使用二项式展开通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于函数 $f(x)$，其展开式中 $x^k$ 项的系数之和可以通过复数赋值法或单位根法求得更复杂的组合。 *方法推广: 赋值法不仅可以求系数和，还可以通过令 $x=0$ 求常数项（即 $f(0)$）。

• 相关知识点：二项式系数性质、帕斯卡三角形。

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