2015-新课标II卷理-24 解-不等式证明

本题导读

本题考查不等式的证明及充要条件的判定。核心在于利用“平方”消除根号，将根式不等式的比较转化为代数式的比较，并建立 $ab$ 与 $|a-b{|}^2$ 之间的逻辑联系。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） （选修 4-5：不等式选讲） 设 $a,b,c,d$ 均为正数，且 $a+b=c+d$.

证明：

(1) 若 $ab>cd$，则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$；

(2) $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 消除根号：两边均为正数，可同时平方进行比较。
   • 利用已知：已知 $a+b=c+d$，平方后项中包含 $a+b$ 和 $c+d$，可以相互抵消，从而将问题简化为比较 $\sqrt{ab}$ 与 $\sqrt{cd}$。
2. 第二问思路：
   • 双向证明：
     • 必要性：从 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 推导 $|a-b|<|c-d|$。利用 $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$。
     • 充分性：从 $|a-b|<|c-d|$ 反推。同样利用平方关系建立 $|a-b|$ 与 $ab$ 的反向变动关系。
   • 核心转化：在和 $a+b$ 固定时，积 $ab$ 越大，差的绝对值 $|a-b|$ 越小。

✅【答案】

点击查看答案

综上所述，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：若 $ab>cd$，则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 由于 $a,b,c,d$ 均为正数，故 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$ 且 $\sqrt{c}+\sqrt{d}>0$。 要证 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$，只需证 $(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2>(\sqrt{c}+\sqrt{d}{)}^2$。 展开得：$a+b+2\sqrt{ab}>c+d+2\sqrt{cd}$。 已知 $a+b=c+d$，上式等价于：$2\sqrt{ab}>2\sqrt{cd}$，即 $ab>cd$。 由于已知条件给出 $ab>cd$，故原命题得证。

(2) 证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件 ① 必要性： 若 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$，由（1）分析可知，其等价于 $ab>cd$。 又因为 $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$，$(c-d{)}^2=(c+d{)}^2-4cd$。 由 $a+b=c+d$ 及 $ab>cd$ 可得： $(a+b{)}^2-4ab<(c+d{)}^2-4cd$， 即 $(a-b{)}^2<(c-d{)}^2$。 两边开方得 $|a-b|<|c-d|$。

② 充分性： 若 $|a-b|<|c-d|$，则 $(a-b{)}^2<(c-d{)}^2$。 即 $(a+b{)}^2-4ab<(c+d{)}^2-4cd$。 由于 $a+b=c+d$，得 $-4ab<-4cd⟹ab>cd$。 由（1）可知，当 $ab>cd$ 时，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 成立。

综上所述，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平方法比较大小；乘法公式的灵活运用（和、积、差的关系）。
• 核心方法：等价转化法。在含有根号的不等式中，平方是打破僵局的第一选择。
• 避坑指南：证明充要条件必须分两步或使用等价符号（$⟺$）确保推导过程是双向的。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 这是一个非常有用的代数性质：在两数之和固定时，两数越接近（积越大），其平方根之和就越大。 *方法推广: 遇到 $|a-b|$ 与 $ab$ 的转化，始终牢记公式 $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$。

• 相关知识点：均值不等式（当 $a=b$ 时积取得最大值，根号和也取得最大值）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

• 2024-天津卷-20 解-导数综合
• 2020-浙江卷-07 单-不等式性质