2015-江苏卷-17 解-待定系数法

本题导读

本题是以山区公路修建为背景的数学建模应用题。考查了待定系数法确定函数解析式、导数的几何意义以及利用导数求解函数在给定区间上的最小值。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 $l_1,l_2$，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路 $l$.记两条相互垂直的公路为 $x,y$ 轴，建立平面直角坐标系 $xOy$，山区边界曲线为 $C$.测得点 $M$ 到 $l_1,l_2$ 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 $N$ 到 $l_1,l_2$ 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米.假设曲线 $C$ 符合函数 $y=\frac{a}{x^2+b}$（其中 $a,b$ 为常数）模型.

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 设公路 $l$ 与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点，$P$ 的横坐标为 $t$.

① 请写出公路 $l$ 长度的函数解析式 $f(t)$，并写出其定义域；

② 当 $t$ 为何值时，公路 $l$ 的长度最短？求出最短长度.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用 $M,N$ 两点的距离信息确定坐标，代入函数模型建立方程组求解 $a,b$。
2. 第二问 ①：
   • 求导得到切线斜率 $k$。
   • 利用点斜式写出切线 $l$ 的方程。
   • 求出 $l$ 与 $x,y$ 轴的交点 $A,B$。
   • 利用两点间距离公式（或勾股定理）求 $AB$ 长度。
   • 根据 $M,N$ 的横坐标确定 $t$ 的定义域。
3. 第二问 ②：对 $f(t)$（或根号内部的函数）求导，通过导数正负判断增减性，从而找到极小值点及最小值。

✅【答案】

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答：当 $t=10\sqrt{2}$ 时，公路 $l$ 的长度最短，最短长度为 $15\sqrt{3}$ 千米

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a,b$ 的值 由题意知，点 $M$ 的坐标为 $(5,40)$，点 $N$ 的坐标为 $(20,2.5)$。 将两点坐标代入 $y=\frac{a}{x^2+b}$，得： $\{\begin{array}{l}\frac{a}{25+b}=40\\ \frac{a}{400+b}=2.5\end{array}$ 由第一式得 $a=40(25+b)$，代入第二式： $\frac{40(25+b)}{400+b}=2.5⟹1000+40b=1000+2.5b⟹37.5b=0⟹b=0$。 代入得 $a=1000$。 故 $a=1000,b=0$。

(2) ① 求公路 $l$ 长度的解析式 $f(t)$ 由（1）知曲线 $C$ 的方程为 $y=\frac{1000}{x^2}$ ($5\le x\le 20$)。 点 $P$ 的坐标为 $(t,\frac{1000}{t^2})$。 求导得 $y^{\prime }=-\frac{2000}{x^3}$，则切线 $l$ 的斜率 $k=-\frac{2000}{t^3}$。 切线 $l$ 的方程为：$y-\frac{1000}{t^2}=-\frac{2000}{t^3}(x-t)$。 令 $y=0$，得 $x=\frac{3t}{2}$，即交点 $A(\frac{3t}{2},0)$。 令 $x=0$，得 $y=\frac{3000}{t^2}$，即交点 $B(0,\frac{3000}{t^2})$。 则公路 $l$ 的长度： $f(t)=\sqrt{(\frac{3t}{2}{)}^2+(\frac{3000}{t^2}{)}^2}=\frac{3}{2}\sqrt{t^2+\frac{4\times 10^6}{t^4}}$ 定义域为 $[5,20]$。

(2) ② 求最短长度 设 $g(t)=t^2+\frac{4\times 10^6}{t^4}$，则 $g^{\prime }(t)=2t-\frac{16\times 10^6}{t^5}$。 令 $g^{\prime }(t)=0⟹2t^6=16\times 10^6⟹t^6=8\times 10^6⟹t=\sqrt[6]{8\times 10^6}=10\sqrt{2}$。 列表分析：

$t$	$(5,10\sqrt{2})$	$10\sqrt{2}$	$(10\sqrt{2},20)$
$g^{\prime }(t)$	$-$	0	$+$
$g(t)$	↘	极小值	↗

所以当 $t=10\sqrt{2}$ 时，$g(t)$ 取得最小值 $g(10\sqrt{2})=(10\sqrt{2}{)}^2+\frac{4\times 10^6}{(10\sqrt{2}{)}^4}=200+\frac{4\times 10^6}{40000}=200+100=300$。 此时 $f(t{)}_{min}=\frac{3}{2}\sqrt{300}=15\sqrt{3}$。

答：当 $t=10\sqrt{2}$ 时，公路 $l$ 的长度最短，最短长度为 $15\sqrt{3}$ 千米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：待定系数法；导数的几何意义求切线；利用导数求闭区间函数最值。
• 核心方法：坐标法与导数结合。将实际距离转化为坐标，将几何相切转化为导数相等，是解决此类应用题的标准范式。
• 避坑指南：注意解析式化简。在求导求最值时，可以只研究根号内部函数的极值以简化计算。定义域 $[5,20]$ 是由 $M,N$ 的端点限制决定的。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 类似 $y=x^m+\frac{C}{x^n}$ 形式的函数求最值，常用导数或均值不等式。 *方法推广: 实际应用题中，切线长度最值问题常伴随勾股定理。

• 相关知识点：幂函数的性质、分式函数的图象。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

• 2020-江苏卷-17 解-函数应用
• 2019-江苏卷-17 解-椭圆定义
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程