2015-江苏卷-19 解-导数单调性

本题导读

本题是导数综合压轴题。第一问考查含参三次函数的单调性分类讨论；第二问考查三次函数存在三个零点的充要条件（极大值与极小值异号），并结合不等式的解集反推参数。

📌【题干】

Question

（2015年江苏卷） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+b$ ($a,b\in \mathbb{R}$).

(1) 试讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $b=c-a$（实数 $c$ 是与 $a$ 无关的常数），当函数 $f(x)$ 有三个不同的零点时，$a$ 的取值范围恰好是 $(-\infty ,-3)\cup (1,\frac{3}{2})\cup (\frac{3}{2},+\infty )$，求 $c$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性）：
   • 求导 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax$。
   • 令 $f^{\prime }(x)=0$ 解出两个极值点 $0$ 和 $-\frac{2a}{3}$。
   • 分 $a=0,a>0,a<0$ 三种情况讨论极值点的大小关系，从而确定单调区间。
2. 第二问（零点与参数）：
   • 零点条件：三次函数有三个不同零点，等价于“极大值 $>0$ 且 极小值 $<0$”，即 $f(0)\cdot f(-\frac{2a}{3})<0$。
     • 建立不等式：将 $b=c-a$ 代入极值乘积式，构造关于 $a,c$ 的不等式。
   • 逆推参数：已知 $a$ 的范围临界值为 $-3,1,\frac{3}{2}$，将这些值作为方程的根或不连续点代入不等式，利用恒成立思想或边界值分析法求出 $c$。
   • 验证：将求得的 $c$ 代回原式，验证 $a$ 的范围是否完全符合题意。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 试讨论 $f(x)$ 的单调性 求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax=x(3x+2a)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=0,x_2=-\frac{2a}{3}$。 ① 当 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$ 恒成立，则 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增。 ② 当 $a>0$ 时，$x_2=-\frac{2a}{3}<0=x_1$。

• 当 $x\in (-\infty ,-\frac{2a}{3})\cup (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in (-\frac{2a}{3},0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-\frac{2a}{3}),(0,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-\frac{2a}{3},0)$ 上单调递减。 ③ 当 $a<0$ 时，$x_1=0<-\frac{2a}{3}=x_2$。
• 当 $x\in (-\infty ,0)\cup (-\frac{2a}{3},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in (0,-\frac{2a}{3})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。 故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0),(-\frac{2a}{3},+\infty )$ 上单调递增，在 $(0,-\frac{2a}{3})$ 上单调递减。

(2) 求 $c$ 的值 由（1）知 $f(x)$ 的两个极值为 $f(0)=b$ 和 $f(-\frac{2a}{3})=\frac{4}{27}{a}^3+b$。 函数有三个零点，则 $f(0)\cdot f(-\frac{2a}{3})<0$，即 $b(\frac{4}{27}{a}^3+b)<0$。 将 $b=c-a$ 代入得：$(c-a)(\frac{4}{27}{a}^3+c-a)<0$。 设 $g(a)=\frac{4}{27}{a}^3-a+c$。 上述不等式可化为：若 $a>c$，则 $g(a)>0$；若 $a<c$，则 $g(a)<0$。 由于 $a$ 的范围在 $a=\frac{3}{2}$ 处断开，且边界包含 $-3,1$， 观察 $g(a)$ 的解析式： 当 $a=-3$ 时，$g(-3)=\frac{4}{27}(-27)-(-3)+c=-4+3+c=c-1$。 当 $a=\frac{3}{2}$ 时，$g(\frac{3}{2})=\frac{4}{27}(\frac{27}{8})-\frac{3}{2}+c=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+c=c-1$。 由题意，$a$ 的取值范围临界点应使 $g(a)=0$，故 $c-1=0⟹c=1$。

验证：当 $c=1$ 时，$b=1-a$。 $f(x)=x^3+a{x}^2+1-a=(x+1)(x^2+(a-1)x+1-a)$。 由于已经有一个零点 $x=-1$，若要有三个不同零点，则 $x^2+(a-1)x+1-a=0$ 需有两个不等于 $-1$ 的异根。 ① $\Delta =(a-1{)}^2-4(1-a)=a^2+2a-3>0⟹(a+3)(a-1)>0⟹a\in (-\infty ,-3)\cup (1,+\infty )$。 ② $x=-1$ 不是根，即 $(-1{)}^2+(a-1)(-1)+1-a\ne 0⟹1-a+1+1-a\ne 0⟹3-2a\ne 0⟹a\ne \frac{3}{2}$。 综合得 $a\in (-\infty ,-3)\cup (1,\frac{3}{2})\cup (\frac{3}{2},+\infty )$，符合题意。 故 $c=1$。

答案：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三次函数单调性讨论；极值点位置分析；函数零点存在性条件。
• 核心方法：因式分解验证法。在处理三次方程零点问题时，如果能观察出其中一个根（如本题中的 $x=-1$），可以将高次方程降次为二次方程处理，极大地简化计算。
• 避坑指南：第一问讨论单调性时，不能漏掉 $a=0$ 这种导数不改变符号的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 三次函数 $f(x)$ 有三个零点的充要条件是其极大值与极小值存在且异号。 *方法推广: 面对复杂的含参范围问题，利用边界值代入法（根的必要性）锁定参数，再进行充分性验证，是压轴题的常用提速技巧。

• 相关知识点：盛金公式、三次函数的对称中心、导数的物理意义。

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