2015-浙江卷理-02 单-三视图

本题导读

本题考查通过三视图还原空间几何体的形状，并利用体积公式进行计算。核心意图是考查学生的空间想象能力和基本几何体体积公式的掌握程度。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 ()

A. $8{\text{cm}}^3$　　　　B. $12{\text{cm}}^3$　　　　C. $\frac{32}{3}{\text{cm}}^3$　　　　D. $\frac{40}{3}{\text{cm}}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原直观图：
   • 观察三视图下半部分：主视图是正方形，左视图是正方形，俯视图是边长为 2 的正方形。判定下部是一个棱长为 2 的正方体。
   • 观察三视图上半部分：主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是带对角线的正方形。判定上部是一个底面边长为 2，高为 2 的正四棱锥。
2. 计算体积：
   • 几何体总体积 $V=V_{正方体}+V_{正四棱锥}$。
   • 运用公式：$V_{正方体}=a^3$，$V_{棱锥}=\frac{1}{3}Sh$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何体结构 由三视图可知，该几何体是一个组合体。

• 下部：棱长 $a=2$ 的正方体。
• 上部：底面是边长为 2 的正方形，高 $h=2$ 的正四棱锥。

第二步：计算分体体积

• 下部正方体体积： $V_1=2^3=8{\text{cm}}^3$
• 上部正四棱锥体积： $V_2=\frac{1}{3}\times S_{底}\times h=\frac{1}{3}\times (2\times 2)\times 2=\frac{8}{3}{\text{cm}}^3$

第三步：计算总体积 $V=V_1+V_2=8+\frac{8}{3}=\frac{24+8}{3}=\frac{32}{3}{\text{cm}}^3$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：由三视图还原直观图。主、左视图反映高和长（宽），俯视图反映底面形状。
• 核心方法：分割法。将复杂的组合体拆解为熟悉的基本柱、锥、台、球。
• 避坑指南：注意棱锥体积公式中的 $\frac{1}{3}$ 系数不要漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于此类“上锥下柱”的组合体，若底面相同且高相等，体积比恒为 $1:3$。 *方法推广: 还原三视图时，“看俯视图定底面，看主左视图定轮廓”是万效法则。

• 相关知识点：正四棱锥的表面积计算、球的内切与外接。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2013年浙江卷理-12
• 2012年浙江卷理-12
• 2014-浙江卷理-03 单-三视图还原