2015-浙江卷理-03 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合应用。核心意图是利用三个特定项成等比数列这一条件，建立首项 $a_1$ 与公差 $d$ 的等量关系，进而判定目标代数式的正负符号。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差 $d$ 不为零，前 $n$ 项和是 $S_n$.若 $a_3,a_4,a_8$ 成等比数列，则 ()

A. $a_{1}d>0,d{S}_4>0$　　　　　　　　　　　B. $a_{1}d<0,d{S}_4<0$

C. $a_{1}d>0,d{S}_4<0$　　　　　　　　　　　D. $a_{1}d<0,d{S}_4>0$

🔍【思路分析】

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1. 转化等比条件：根据等比中项的定义，由 $a_3,a_4,a_8$ 成等比数列可得 $a_4^2=a_3\cdot a_8$。
2. 建立 $a_1$ 与 $d$ 的关系：利用等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，将上述等式转化为关于 $a_1$ 和 $d$ 的方程。
3. 判定 $a_{1}d$ 符号：根据求得的关系式，直接观察 $a_1\cdot d$ 的代数形式，判定其正负。
4. 判定 $d{S}_4$ 符号：利用前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 表示出 $S_4$，代入 $a_1$ 与 $d$ 的关系进行化简判定。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用等比中项性质列方程 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$ ($d\ne 0$)。 由 $a_3,a_4,a_8$ 成等比数列，得： $(a_1+3d{)}^2=(a_1+2d)(a_1+7d)$ 展开并整理： $a_1^2+6a_{1}d+9d^2=a_1^2+9a_{1}d+14d^2$ $3a_{1}d=-5d^2$ 因为 $d\ne 0$，两边同时除以 $3d$ 得： $a_1=-\frac{5}{3}d\text{或}d=-\frac{3}{5}{a}_1$

第二步：判断 $a_{1}d$ 的符号 由 $a_1=-\frac{5}{3}d$ 可知，$a_1$ 与 $d$ 异号。 则 $a_{1}d=-\frac{5}{3}{d}^2$。由于 $d^2>0$，故 $a_{1}d<0$。

第三步：判断 $d{S}_4$ 的符号 计算 $S_4=4a_1+\frac{4\times 3}{2}d=4a_1+6d$。 将 $a_1=-\frac{5}{3}d$ 代入： $S_4=4(-\frac{5}{3}d)+6d=-\frac{20}{3}d+\frac{18}{3}d=-\frac{2}{3}d$ 则 $d{S}_4=d\cdot (-\frac{2}{3}d)=-\frac{2}{3}{d}^2$。 由于 $d^2>0$，故 $d{S}_4<0$。

综上所述，$a_{1}d<0$ 且 $d{S}_4<0$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列通项与求和公式；等比数列的定义（等比中项）。
• 核心方法：基本量法。将所有条件统一转化为 $a_1$ 和 $d$ 的表达形式，是解决数列综合题的万能钥匙。
• 避坑指南：题目明确说明 $d\ne 0$，在约简等式时可以放心除以 $d$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 在等差数列中，若三项 $a_m,a_n,a_p$ 成等比数列，则必有 $(n-m)a_p+(m-p)a_n+(p-n)a_m=0$ 结合通项公式推导。 *方法推广: 涉及正负符号判定，通常化简为 $k\cdot X^2$ 的形式，利用实数平方的非负性得出结论。

• 相关知识点：数列的单调性、等差中项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2004-浙江理-03 单-等差数列的通项公式
• 2022-高考浙江卷-20
• 2016-浙江卷理-13