2015-浙江卷理-06 单-集合元素

本题导读

本题通过定义集合间的一个新运算 $d(A,B)$（本质为对称差的元素个数），考查集合运算的性质及其与逻辑充要条件、三角不等式的结合。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）设 $A,B$ 是有限集.定义：$d(A,B)=\text{card}(A\cup B)-\text{card}(A\cap B)$，其中 $\text{card}(A)$ 表示有限集 $A$ 中的元素个数.

命题①：对任意有限集 $A,B$，“$A\ne B$”是“$d(A,B)>0$”的充要条件；

命题②：对任意有限集 $A,B,C$，$d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C)$. 则 ()

A. 命题①和命题②都成立　　　　　　　B. 命题①和命题②都不成立

C. 命题①成立，命题②不成立　　　　　D. 命题①不成立，命题②成立

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析新定义：$d(A,B)=\text{card}(A\cup B)-\text{card}(A\cap B)$，在集合论中，$A\cup B$ 减去 $A\cap B$ 得到的集合称为对称差 $A\Delta B$。因此 $d(A,B)$ 即为属于 $A$ 或属于 $B$ 但不同时属于两者的元素个数。
2. 分析命题①：
   • 若 $A=B$，则 $A\cup B=A\cap B$，故 $d(A,B)=0$。
   • 若 $A\ne B$，则必存在元素属于其中一个集合而不属于另一个，故 $A\cup B\ne A\cap B$，从而 $d(A,B)>0$。
   • 结论：$A=B⟺d(A,B)=0$，其等价逆否命题即为①。
3. 分析命题②：
   • 考虑元素在集合 $A,B,C$ 中的隶属情况（利用韦恩图的 8 个区域）。
   • $d(A,B)$ 表示“只属于 $A$”和“只属于 $B$”的区域元素和（相对于 $A,B$ 两集）。
   • 这是一个度量空间中的“三角不等式”。可以通过特征函数或对元素在各个区域出现的次数进行计数验证。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证命题① 由定义 $d(A,B)=\text{card}(A\cup B)-\text{card}(A\cap B)$。 易知 $\text{card}(A\cup B)\ge \text{card}(A\cap B)$ 恒成立，故 $d(A,B)\ge 0$。 若 $d(A,B)=0$，则 $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A\cap B)$。 由于 $A\cap B\subseteq A\cup B$，在有限集中，子集元素个数等于全集元素个数当且仅当子集等于全集。 即 $A\cup B=A\cap B⟺A=B$。 其等价结论为：$d(A,B)>0⟺A\ne B$。 所以命题①成立。

第二步：验证命题② $d(A,B)$ 实际上是集合对称差 $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ 的元素个数。 由集合运算性质可知：$A\Delta C\subseteq (A\Delta B)\cup (B\Delta C)$。 （证明简述：若 $x\in A\Delta C$，不妨设 $x\in A$ 且 $x\notin C$。 若 $x\in B$，则 $x\in B\setminus C\subseteq B\Delta C$； 若 $x\notin B$，则 $x\in A\setminus B\subseteq A\Delta B$。 无论哪种情况，$x\in (A\Delta B)\cup (B\Delta C)$。） 因此： $\text{card}(A\Delta C)\le \text{card}((A\Delta B)\cup (B\Delta C))$ $\text{card}(A\Delta C)\le \text{card}(A\Delta B)+\text{card}(B\Delta C)$ 即 $d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C)$。 所以命题②成立。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：集合的交、并运算与元素个数的关系；充要条件的判定；新定义问题的拆解。
• 核心方法：等价转化法。将 $d(A,B)$ 转化为对称差的元素个数，能迅速套用已知的集合包含关系。
• 避坑指南：命题②的证明若使用代数式 $\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)$ 展开会非常繁琐，利用几何意义（区域计数）或集合包含关系更为高效。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 设 $X$ 是一个集合，$\mathcal{P}(X)$ 是其幂集。定义 $d(A,B)=\text{card}(A\Delta B)$，则 $d$ 是 $\mathcal{P}(X)$ 上的一个度量（距离）。 *方法推广: 遇到“card”相关的题目，第一反应应当是画韦恩图（Venn Diagram），通过区域标注法将复杂的逻辑关系可视化。

• 相关知识点：容斥原理、对称差的结合律。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷文-6
• 2022-高考浙江卷-1
• 2016-浙江卷理-01