2015-浙江卷理-08 单-二面角

本题导读

本题考查折叠问题中空间角的性质。通过二面角的定义寻找平面角的构建方式，并利用垂直投影关系比较空间角与二面角的大小，体现了对三维空间想象能力的要求。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） （2015•浙江）如图，已知 $△ABC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，沿直线 $CD$ 将 $△ACD$ 折成 $△A^{\prime }CD$，所成二面角 $A^{\prime }-CD-B$ 的平面角为 $\alpha$，则 ()

A. $\angle A^{\prime }DB\le \alpha$　　　　　B. $\angle A^{\prime }DB\ge \alpha$　　　　　C. $\angle A^{\prime }CB\le \alpha$　　　　　D. $\angle A^{\prime }CB\ge \alpha$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 二面角定义：二面角的平面角是通过棱上一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线所成的角。

2. 特殊情况法：考虑当 $AC=BC$ 且 $AD=BD$ 时。此时如果 $CD\perp AB$，则 $CD$ 同时垂直于 $A^{\prime }D$ 和 $BD$。根据定义，$\angle A^{\prime }DB$ 恰好就是二面角的平面角 $\alpha$。

3. 一般情况分析：当 $CD$ 不垂直于 $AB$ 时。过 $A^{\prime }$ 作 $A^{\prime }O\perp$ 平面 $BCD$ 于 $O$，过 $O$ 作 $OE\perp CD$ 于 $E$。连结 $A^{\prime }E$，则 $\angle A^{\prime }EO=\alpha$。

4. 投影比较：在 $Rt△A^{\prime }OE$ 中，$A^{\prime }O=A^{\prime }E\sin \alpha$。在 $△A^{\prime }DB$ 的结构中，通过比较顶点到棱的距离与平面角的关系得出结论。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：二面角平面角的构建

过点 $A^{\prime }$ 作 $A^{\prime }H\perp CD$ 于 $H$，连接 $BH$。

则由二面角的定义可知，二面角 $A^{\prime }-CD-B$ 的平面角 $\alpha$ 满足 $\alpha \le \angle A^{\prime }HB$（当 $BH\perp CD$ 时相等）。

第二步：特殊位置讨论

• 若 $AC=BC$ 且 $AD=DB$，由于 $D$ 是中点，则 $CD\perp AB$。

  折叠后，$CD\perp A^{\prime }D$ 且 $CD\perp BD$。

  由二面角的定义，$\angle A^{\prime }DB$ 即为平面角 $\alpha$，此时 $\angle A^{\prime }DB=\alpha$。

• 若 $AC\ne BC$，则 $CD$ 不垂直于 $AB$。

  设 $A^{\prime }$ 在平面 $BCD$ 上的射影为 $O$。过 $O$ 作 $OE\perp CD$ 于 $E$，连结 $A^{\prime }E$。

  由三垂线定理知 $A^{\prime }E\perp CD$，故 $\angle A^{\prime }EO=\alpha$ 为二面角的平面角。

  在 $Rt△A^{\prime }OE$ 中，$A^{\prime }O=A^{\prime }E\sin \alpha$。

  又因为 $A^{\prime }E$ 是点 $A^{\prime }$ 到直线 $CD$ 的距离，而 $A^{\prime }D$ 是点 $A^{\prime }$ 到直线 $CD$ 上的一点 $D$ 的距离，故 $A^{\prime }D\ge A^{\prime }E$。

第三步：大小关系判定

考虑 $△A^{\prime }DB$ 与其射影的关系。由射影面积公式或空间线段长度关系推导：

在折叠过程中，$A^{\prime }D=AD=BD$。

在 $△A^{\prime }DB$ 中，由余弦定理：$A^{\prime }{B}^2=A^{\prime }{D}^2+B{D}^2-2A^{\prime }D\cdot BD\cos \angle A^{\prime }DB$。

在平面 $BCD$ 内，由射影性质可证得二面角的张开程度限制了空间角的大小。

由于 $E$ 是 $A^{\prime }$ 到 $CD$ 垂足，而 $D$ 是棱上任意一点，垂线段最短。

综合几何性质可知，$\angle A^{\prime }DB$ 实际上“张开”得比垂直方向的 $\alpha$ 更大。

即 $\angle A^{\prime }DB\ge \alpha$。

故选：B。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二面角的定义与三垂线定理。

• 核心方法：特殊化思想。当选项中存在不等号时，先寻找等号成立的界限（即对称位置），再通过偏移对称性来判断趋势。

• 避坑指南：不要误以为 $\angle A^{\prime }DB$ 或 $\angle A^{\prime }CB$ 直接就是二面角。只有当两条边都与棱垂直时，它们才是平面角。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 设二面角为 $\alpha$，棱上一点 $D$ 连结两个半平面内的点 $A^{\prime },B$。若 $A^{\prime }D,BD$ 与棱的夹角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$，则 $\cos \angle A^{\prime }DB=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\cos \alpha$。

*方法推广: 空间折叠问题中，折痕（棱）两侧保持不变的量（边长、垂直关系）是解题的抓手。

• 相关知识点：最小角定理、线面角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

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