2015-浙江卷理-15 填-向量数量积

本题导读

本题考查空间向量数量积的综合应用。核心在于通过构建坐标系，将抽象的向量模长最值问题转化为二元二次函数的配方最值问题，体现了数形结合与代数运算的深度融合。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(理)） (2015·浙江) 已知 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 是空间单位向量，$\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=\frac{1}{2}$.若空间向量 $\vec{b}$ 满足 $\vec{b}\cdot \overrightarrow{e_1}=2,\vec{b}\cdot \overrightarrow{e_2}=\frac{5}{2}$，且对于任意 $x,y\in \mathbb{R}$，恒有 $|\vec{b}-(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2})|\ge |\vec{b}-(x_0\overrightarrow{e_1}+y_0\overrightarrow{e_2})|=1$ ($x_0,y_0\in \mathbb{R}$)，则 $x_0=$ $\underline{}$，$y_0=$ $\underline{}$，$|\vec{b}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何意义分析：向量 $x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ 表示基底 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 所在的平面 $\alpha$ 内的任意向量。$|\vec{b}-(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2})|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的终点到平面 $\alpha$ 内点的距离。其最小值即为点到平面的垂线段长。
2. 构建坐标系：由于 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 夹角为 $60^{\circ }$，为方便计算，可以设 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 在 $Oxy$ 平面上。设 $\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{e_2}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。
3. 求解变量：设 $\vec{b}=(m,n,t)$，利用数量积条件求出 $m,n$。再通过配方法求出距离函数的最小值，并根据最小值等于 1 求出 $t$。
4. 计算模长：最后利用坐标模长公式 $|\vec{b}|=\sqrt{m^2+n^2+t^2}$ 求解。

✅【答案】

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$1$；$2$；$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标化基底与向量 由 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 是单位向量且 $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=\frac{1}{2}$，知 $⟨\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}⟩=60^{\circ }$。 设 $\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{e_2}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$。 设 $\vec{b}=(m,n,t)$。 由 $\vec{b}\cdot \overrightarrow{e_1}=m=2$。 由 $\vec{b}\cdot \overrightarrow{e_2}=\frac{1}{2}m+\frac{\sqrt{3}}{2}n=1+\frac{\sqrt{3}}{2}n=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}n=\frac{3}{2}\Rightarrow n=\sqrt{3}$。 所以 $\vec{b}=(2,\sqrt{3},t)$。

第二步：构建距离平方函数并配方 设 $\vec{c}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}=(x+\frac{1}{2}y,\frac{\sqrt{3}}{2}y,0)$。 则 $|\vec{b}-\vec{c}{|}^2=(2-x-\frac{1}{2}y{)}^2+(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}y{)}^2+(t-0{)}^2$ $=[2-(x+\frac{1}{2}y){]}^2+\frac{3}{4}(2-y{)}^2+t^2$ 当 $y=y_0=2$ 时，第二项取得最小值 0。 此时代入第一项：$[2-(x+1){]}^2=(1-x{)}^2$，当 $x=x_0=1$ 时，第一项取得最小值 0。 故当 $x_0=1,y_0=2$ 时，距离平方取得最小值 $t^2$。

第三步：计算结果 由题意最小值为 1，故 $t^2=1^2=1$。 此时 $|\vec{b}{|}^2=m^2+n^2+t^2=2^2+(\sqrt{3}{)}^2+1=4+3+1=8$。 所以 $|\vec{b}|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

故答案为：$1$；$2$；$2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间向量的坐标运算、数量积的几何意义。
• 核心方法：坐标法。对于抽象向量中存在明确夹角或垂直关系的题目，建系化抽象为具体是极佳的突破口。
• 避坑指南：注意 $x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ 构成的向量不一定是正交坐标系，配方时需要细心处理各分量间的耦合关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 向量 $\vec{b}$ 到由 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 张成的平面 $\alpha$ 的投影向量即为 $x_0\overrightarrow{e_1}+y_0\overrightarrow{e_2}$。本题实质是求投影系数。 *方法推广: 最小值 $|\vec{b}\cdot \vec{n}|$，其中 $\vec{n}$ 为平面的法向量。

• 相关知识点：最小二乘法原理（几何形式）、空间点到平面距离公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 21.04 空间向量求距离

类题演练(Links)

• 2016-浙江卷文-15
• 2016-浙江卷理-15
• 2008-浙江卷理-15