2015-湖北卷文-15 填-解三角形测高

本题导读

水平面内 $△ABD$ 中 $\angle DAB=30^{\circ }$、$\angle ABD=105^{\circ }$，正弦定理求 $BD=300\sqrt{2}$；再由仰角 $30^{\circ }$ 得 $CD=BD\tan 30^{\circ }=100\sqrt{6}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ }$ 的方向上，行驶 $600$ m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ }$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ }$，则此山的高度 $CD=$ $\underline{}$ m.

🔍【思路分析】

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水平面内 $△ABD$ 中 $\angle DAB=30^{\circ }$、$\angle ABD=105^{\circ }$，正弦定理求 $BD=300\sqrt{2}$；再由仰角 $30^{\circ }$ 得 $CD=BD\tan 30^{\circ }=100\sqrt{6}$。

✅【答案】

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$100\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

在水平面内，$\angle DAB=30^{\circ }$（西偏北 $30^{\circ }$），$B$ 处向西偏北 $75^{\circ }$ 方向看 $D$，故 $\angle ABD=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$，于是 $\angle ADB=45^{\circ }$。

由正弦定理 $\frac{BD}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 45^{\circ }}$，得 $BD=600\times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=300\sqrt{2}$（m）。

在竖直面内，仰角为 $30^{\circ }$，故 $CD=BD\cdot \tan 30^{\circ }=300\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=100\sqrt{6}$（m）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理；测量问题中”水平角 + 仰角”的双三角形结构

核心方法：先在水平面用正弦定理求斜距，再在竖直面用三角函数求高

避坑指南：$B$ 处的角是 $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$ 而非 $75^{\circ }$（$BA$ 指向正东）；山高用 $\tan 30^{\circ }$ 而非 $\sin 30^{\circ }$ 乘斜距。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测山高/塔高的解三角形应用题是传统考题，本题方位角设置（$30^{\circ }$/$75^{\circ }$）使 $\angle ADB=45^{\circ }$ 数字干净，是命题的精心设计。

结论推广：一般测量模型：水平三角形定距离，竖直三角形 $h=d\tan \alpha$；若两次仰角不同，可用两次测量的 $d$ 之差消元。

方法推广：“先平面、后立面”拆解实际测量题，方位角一律以正南正北正西正东为基准折算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

• 2015-湖北卷理-13 填-正弦定理
• 2013年湖北卷理-17
• 2011-湖北卷理-16