2015-湖北卷理-13 填-正弦定理

本题导读

本题是一个典型的解三角形实际应用题，考查空间几何建模能力。重点在于将空间方位角、仰角等信息转化为底面平面三角形与侧面直角三角形的边角关系，通过正弦定理和三角函数定义求解。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ }$ 的方向上，行驶 $600\text{m}$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ }$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ }$，则此山的高度 $CD=$ $\underline{}$ $\text{m}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立几何模型：设山顶 $D$ 在地面上的投影为 $C$ 点，则 $CD\perp$ 平面 $ABC$。题目要求的是 $CD$ 的长度。
2. 底面三角形分析：在水平面内考虑 $△ABC$。
   • $AB=600\text{m}$。
   • $A$ 处观察方向西偏北 $30^{\circ }⟹\angle BAC=30^{\circ }$。
   • $B$ 处观察方向西偏北 $75^{\circ }⟹\angle ABC=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$。
   • 计算 $\angle ACB=180^{\circ }-105^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ }$。
3. 利用正弦定理：在 $△ABC$ 中，已知一边二角，利用正弦定理求出 $BC$ 的长度。
4. 侧面直角三角形分析：在 $Rt△BCD$ 中，已知仰角 $\angle CBD=30^{\circ }$ 和底边 $BC$，利用正切定义 $CD=BC\cdot \tan 30^{\circ }$ 即可得出答案。

✅【答案】

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$100\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析底面 $△ABC$ 由题意，在地面水平面内，汽车从 $A$ 向正西行驶到 $B$，距离 $AB=600$。 $A$ 处看山底 $C$ 为西偏北 $30^{\circ }$，故 $\angle BAC=30^{\circ }$。 $B$ 处看山底 $C$ 为西偏北 $75^{\circ }$，由于汽车向西行，则 $\angle ABC$ 是 $75^{\circ }$ 的补角，即 $\angle ABC=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$。 在 $△ABC$ 中，$\angle ACB=180^{\circ }-30^{\circ }-105^{\circ }=45^{\circ }$。

第二步：利用正弦定理求 $BC$ 根据正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}$： $\frac{600}{\sin 45^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 30^{\circ }}$ $BC=\frac{600\times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{600}{\sqrt{2}}=300\sqrt{2}\text{m}$

第三步：在 $Rt△BCD$ 中求高度 山顶 $D$ 对 $B$ 处的仰角为 $30^{\circ }$，即 $\angle CBD=30^{\circ }$。 因为 $CD\perp BC$，在 $Rt△BCD$ 中： $CD=BC\cdot \tan 30^{\circ }$ $CD=300\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=100\sqrt{6}\text{m}$

答案：$100\sqrt{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：方位角（西偏北）与三角形内角的转化；仰角的定义；正弦定理的灵活运用。
• 避坑指南：
  1. 图形维度的区分：一定要分清楚哪些角在水平面上（如 $30^{\circ },105^{\circ }$），哪些角在垂直面上（仰角 $30^{\circ }$）。
  2. 方位角的计算：$B$ 处的角 $\angle ABC$ 是西偏北方向线的“补角”，容易错写成 $75^{\circ }$。
• 核心方法：将空间问题转化为多个平面三角形问题，通过公共边（如 $BC$）建立联系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在测量山高或塔高时，若无法直接到达底部，常采用“两次观测法”，建立两个三角形并利用公共边过渡。
• 方法推广:
  • 坐标法：若方位角更为复杂，可以建立平面直角坐标系表示 $A,B$ 坐标，求出直线交点得到 $C$。
• 相关知识点: 俯角、坡度、余弦定理、四面体体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2009-湖北卷理-13
• 2013年湖北卷理-17
• 2010-湖北卷理-03