2015-湖北卷理-14 填-圆的方程

本题导读

本题是 2015 年湖北理科卷填空题的压轴题。第一问考查圆的标准方程求法；第二问通过动直线与圆相交的情境，考查对比例关系的判定。由于结论具有一般性，采用特殊值法（取特殊直线）可以快速准确地筛选正确结论。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A,B$（$B$ 在 $A$ 的上方），且 $|AB|=2$.

(1) 圆 $C$ 的标准方程为$\underline{}$；

(2) 过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $M,N$ 两点，下列三个结论：

① $\frac{|NA|}{|NB|}=\frac{|MA|}{|MB|}$；

② $\frac{|NB|}{|NA|}-\frac{|MA|}{|MB|}=2$；

③ $\frac{|NB|}{|NA|}+\frac{|MA|}{|MB|}=2\sqrt{2}$.

其中正确结论的序号是$\underline{}$.（写出所有正确结论的序号）

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求圆方程）：
   • 因为圆与 $x$ 轴切于 $(1,0)$，设圆心 $C(1,r)$，半径为 $r$。
   • 利用弦长公式：半径 $r$、弦的一半（$|AB|/2=1$）与圆心到 $y$ 轴距离（$d=1$）构成直角三角形。
   • $r^2=1^2+1^2⟹r=\sqrt{2}$，从而确定圆心和方程。
2. 第二问（结论判定）：
   • 坐标准备：联立圆 $C$ 方程与 $y$ 轴（$x=0$）求出 $A,B$ 的具体坐标。
   • 特殊化策略：题目称“任作一条直线”，说明结论与直线的斜率无关。为了简化计算，取一条特殊直线。
   • 选取特殊直线：取直线 $MN$ 为 $y$ 轴（即 $x=0$），此时 $M,N$ 分别为圆 $O$ 与 $y$ 轴的交点 $(0,-1)$ 和 $(0,1)$。
   • 代入验证：计算此时的 $|MA|,|MB|,|NA|,|NB|$，代入三个序号中验证等式是否成立。

✅【答案】

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①②③

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求圆 $C$ 的标准方程 由圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于 $T(1,0)$，可设圆心 $C(1,r)$，半径为 $r$（$r>0$）。 圆心 $C$ 到 $y$ 轴的距离为 $d=1$。 因为圆 $C$ 截 $y$ 轴所得弦长 $|AB|=2$，由垂径定理及勾股定理得： $r^2=d^2+(\frac{|AB|}{2}{)}^2=1^2+1^2=2$ 故 $r=\sqrt{2}$，圆心为 $C(1,\sqrt{2})$。 圆 $C$ 的标准方程为：(x-1)² + (y-√2)² = 2。

（Ⅱ）判定正确结论

1. 确定 $A,B$ 点坐标： 令 $x=0$ 代入圆 $C$ 方程：$(0-1{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=2⟹(y-\sqrt{2}{)}^2=1$。 解得 $y=\sqrt{2}-1$ 或 $y=\sqrt{2}+1$。 因为 $B$ 在 $A$ 上方，所以 $A(0,\sqrt{2}-1)$，$B(0,\sqrt{2}+1)$。
2. 利用特殊值法： 取过点 $A$ 的特殊直线为 $y$ 轴（即 $x=0$）。 该直线与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $M(0,-1)$，$N(0,1)$。 此时各线段长度如下（均为 $y$ 轴上坐标差的绝对值）：
   • $|MA|=(\sqrt{2}-1)-(-1)=\sqrt{2}$
   • $|MB|=(\sqrt{2}+1)-(-1)=\sqrt{2}+2$
   • $|NA|=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$
   • $|NB|=(\sqrt{2}+1)-1=\sqrt{2}$
3. 验证结论：
   • 对于①： $\frac{|NA|}{|NB|}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$； $\frac{|MA|}{|MB|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-2)}{2-4}=\frac{2-2\sqrt{2}}{-2}=\sqrt{2}-1$。 故 ① 正确。
   • 对于②： $\frac{|NB|}{|NA|}-\frac{|MA|}{|MB|}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}-(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{4-2}-\sqrt{2}+1=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}-\sqrt{2}+1=\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1=2$。 故 ② 正确。
   • 对于③： $\frac{|NB|}{|NA|}+\frac{|MA|}{|MB|}=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$。 故 ③ 正确。

答案：①②③

方法2：

已知单位圆 $O$ 的方程为

$x^2+y^2=1$。

由第（1）问，

$OA=\sqrt{2}-1$，

$OB=\sqrt{2}+1$。

于是

$OA\cdot OB=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$。

又因为 $A、B、O$ 三点共线，所以 $A、B$ 关于单位圆 $O$ 互为反演点。

反演的距离性质

设 $P$ 是单位圆上的任意一点，则 $OP=1$。

因为 $A、B$ 关于单位圆互为反演点，所以

$OB=\frac{1}{OA}$。

由反演的距离关系，

$BP=\frac{AP}{OA}$。

因此，当 $P=M$ 时，

$MB=\frac{MA}{OA}$，

即

$\frac{|MA|}{|MB|}=OA=\sqrt{2}-1$。

当 $P=N$ 时，

$NB=\frac{NA}{OA}$，

即

$\frac{|NA|}{|NB|}=OA=\sqrt{2}-1$。

判断结论①

由上面的结论，

$\frac{|NA|}{|NB|}=\frac{|MA|}{|MB|}$。

所以结论①正确。

判断结论②

因为

$\frac{|NB|}{|NA|}=\frac{1}{OA}=\sqrt{2}+1$，

且

$\frac{|MA|}{|MB|}=OA=\sqrt{2}-1$，

所以

$\begin{array}{rl}\frac{|NB|}{|NA|}-\frac{|MA|}{|MB|}& =(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)\\ & =2.\end{array}$

所以结论②正确。

判断结论③

同理，

$\begin{array}{rl}\frac{|NB|}{|NA|}+\frac{|MA|}{|MB|}& =(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)\\ & =2\sqrt{2}.\end{array}$

所以结论③正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的几何性质（切线、垂径定理）、直线与圆的交点计算。
• 避坑指南：第二问如果采用斜率式 $y=kx+(\sqrt{2}-1)$ 进行一般性论证，计算量将极其庞大且极易出错。
• 在高考填空题中，当题目给出的结论是“序号组合”且条件具有“任意性”时，特殊值法是性价比最高的策略。它可以变抽象为具体，变繁琐为简洁。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法推广:
  • 阿波罗尼斯圆：①结论实质上反映了某种比例关系的对称性。
  • 极点极弦理论：过点 $A$ 的直线与圆相交，涉及到的线段比例关系往往与调和分割及圆的极性质有关。
• 相关知识点: 、圆的标准方程与一般方程、直线与圆相交的弦长公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-14 填-新定义型问题
• 2012-湖北卷理-14
• 2013年湖北卷理-16