2015-湖南卷文-19 解-数列递推

本题导读

相邻两式作差得 $a_{n+2}=3a_n$；奇数项 $3^{k-1}$、偶数项 $2\cdot 3^{k-1}$，$S_n$ 按 $n$ 奇偶分组求和。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 已知 $a_1=1$，$a_2=2$，且 $a_{n+2}=3S_n-S_{n+1}+3$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 证明：$a_{n+2}=3a_n$；

(2) 求 $S_n$.

🔍【思路分析】

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相邻两式作差得 $a_{n+2}=3a_n$；奇数项 $3^{k-1}$、偶数项 $2\cdot 3^{k-1}$，$S_n$ 按 $n$ 奇偶分组求和。

✅【答案】

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(2) $S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{5\cdot 3^{m-1}-3}{2},& n=2m-1,\\ \frac{3(3^m-1)}{2},& n=2m,\end{array}m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $n=1$ 时：$a_3=3S_1-S_2+3=3a_1-(a_1+a_2)+3=3-3+3=3=3a_1$。

当 $n\ge 2$ 时，分别取 $n$ 与 $n-1$：

$a_{n+2}=3S_n-S_{n+1}+3$，$a_{n+1}=3S_{n-1}-S_n+3$。

由 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$，第一式化为 $a_{n+2}=2S_n-a_{n+1}+3$。代入第二式：

$a_{n+2}=2S_n-(3S_{n-1}-S_n+3)+3=3(S_n-S_{n-1})=3a_n$。

综上，对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_{n+2}=3a_n$。

(2) 由 $a_1=1$、$a_2=2$ 及 $a_{n+2}=3a_n$：奇数项 $a_{2k-1}=3^{k-1}$，偶数项 $a_{2k}=2\cdot 3^{k-1}$（$k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），各自成等比。

若 $n=2m$：$S_{2m}=\sum _{k=1}^m{3}^{k-1}+2\sum _{k=1}^m{3}^{k-1}=3\cdot \frac{3^m-1}{2}=\frac{3(3^m-1)}{2}$。

若 $n=2m-1$：$S_{2m-1}=\frac{3^m-1}{2}+2\cdot \frac{3^{m-1}-1}{2}=\frac{5\cdot 3^{m-1}-3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 型递推关系的处理；隔项等比数列；分组求和

核心方法：相邻作差消去 $S_n$；奇偶分项后各成等比；按 $n$ 的奇偶写分段和

避坑指南：①作差法只对 $n\ge 2$ 有效，$n=1$ 要单独验证再”合并”；②求和时奇偶两组项数不同（$2m-1$ 时偶数组只有 $m-1$ 项），别按同项数算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 型递推 + 隔项等比是数列大题的进阶形态（doc 考点定位：数列递推关系、数列求和），第（1）问的”先特殊后一般”是标准论证结构。

结论推广：一般地，$a_{n+2}=q{a}_n$ 型隔项递推 $\Rightarrow$ 奇偶项各自等比；$S_n$ 的分段闭式也可用 $S_{2m}=S_{2m-1}+a_{2m}$ 互推验算。

方法推广：$S_n$ 递推先”作差化 $a_n$“，出现隔项结构就分奇偶数列各写通项，求和按项数分别套等比公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

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