2015-湖南卷文-21 解-极值等比

本题导读

$x_n=\frac{\pi }{4}+(n-1)\pi$，$\frac{f(x_{n+1})}{f(x_n)}=-e^{\pi }$ 为等比；恒成立化为 $a\ge \sqrt{2}{x}_n{e}^{-x_n}$（一切 $n$），右侧最大在 $x_1=\frac{\pi }{4}$，$a\ge \frac{\pi }{2\sqrt{2}}{e}^{-\pi /4}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=a{e}^x\cos x$（$x\in [0,+\infty )$）. 记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）个极值点.

(1) 证明：数列 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列；

(2) 若对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$x_n\le |f(x_n)|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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$x_n=\frac{\pi }{4}+(n-1)\pi$，$\frac{f(x_{n+1})}{f(x_n)}=-e^{\pi }$ 为等比；恒成立化为 $a\ge \sqrt{2}{x}_n{e}^{-x_n}$（一切 $n$），右侧最大在 $x_1=\frac{\pi }{4}$，$a\ge \frac{\pi }{2\sqrt{2}}{e}^{-\pi /4}$。

✅【答案】

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(2) $a\ge \frac{\pi }{2\sqrt{2}}{e}^{-\frac{\pi }{4}}$，即 $a\in \left[\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{e}^{-\frac{\pi }{4}},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=a{e}^x(\cos x-\sin x)$。由 $a{e}^x>0$，极值点满足 $\tan x=1$，在 $[0,+\infty )$ 内从小到大

$x_n=\frac{\pi }{4}+(n-1)\pi$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

于是 $f(x_n)=a{e}^{x_n}\cos \left(\frac{\pi }{4}+(n-1)\pi \right)=a{e}^{\frac{\pi }{4}+(n-1)\pi }\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(-1{)}^{n-1}$，

$\frac{f(x_{n+1})}{f(x_n)}=-e^{\pi }$ 与 $n$ 无关，故 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列，首项 $\frac{\sqrt{2}}{2}a{e}^{\frac{\pi }{4}}$、公比 $-e^{\pi }$。

(2) $|f(x_n)|=\frac{a}{\sqrt{2}}{e}^{x_n}$，题设不等式等价于 $a\ge \sqrt{2}{x}_n{e}^{-x_n}$ 对一切 $n$ 成立。

令 $g(x)=x{e}^{-x}$，$g^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x}$，$g$ 在 $(0,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减；$x_1=\frac{\pi }{4}<1$，$x_2=\frac{5\pi }{4}>1$。

对 $n\ge 2$，$x_n\ge x_2$，故 $g(x_n)\le g(x_2)$；而 $\frac{g(x_1)}{g(x_2)}=\frac{x_1}{x_2}{e}^{x_2-x_1}=\frac{e^{\pi }}{5}>1$（因 $e^{\pi }>1+\pi +\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{{\pi }^3}{6}>13>5$），故 $g(x_1)>g(x_2)\ge g(x_n)$。

所以 $g(x_n)$ 的最大值为 $g(x_1)=\frac{\pi }{4}{e}^{-\frac{\pi }{4}}$，从而

$a\ge \sqrt{2}\cdot \frac{\pi }{4}{e}^{-\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{e}^{-\frac{\pi }{4}}$。

故 $a$ 的取值范围为 $\left[\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{e}^{-\frac{\pi }{4}},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与极值点；等比数列；恒成立问题（转化为数列最值）

核心方法：“极值点等距 $\Rightarrow$ 函数值成等比”；$g(x)=x{e}^{-x}$ 单峰性定数列最大项

避坑指南：①$\{f(x_n)\}$ 各项正负交替，公比 $-e^{\pi }$ 为负，写等比数列定义时不要丢符号；②比较 $g(x_1)$ 与 $g(x_2)$ 需要证 $e^{\pi }>5$，用 $e^{\pi }>1+\pi +\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{{\pi }^3}{6}$ 放缩，不能凭直觉跳过。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“三角函数极值点数列化 + 恒成立”的压轴组合（doc 考点定位：恒成立问题、等比数列的性质），$e$ 与 $\pi$ 的放缩比较是本卷压轴的最后一道门槛。

结论推广：一般地，$f(x)=a{e}^x\cos (x+\phi )$ 的极值点间隔为 $\pi$，函数值成公比 $-e^{\pi }$ 的等比数列；单峰函数 $g(x)=x^{\alpha }{e}^{-x}$ 的最大项可用导数定位后与相邻候选比较。

方法推广：数列与导数的交汇：先求极值点通项，再”值数列化”，恒成立一律化"$a\ge \max g(x_n)$"，最大项的证明要用放缩而非直觉。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练(Links)

• 2015-湖南卷理-21 解-极值
• 2013年湖南卷理-21
• 2008-湖南卷理-21