2015-湖南卷理-06 单-通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及其应用。通过寻找特定项的幂次来确定 $r$ 的值，进而建立关于待定系数 $a$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知 $(\sqrt{x}-\frac{a}{\sqrt{x}}{)}^5$ 的展开式中含 $x^{\frac{3}{2}}$ 的项的系数为 $30$，则 $a=$ ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $-\sqrt{3}$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $-6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$ 写出一般项。
2. 化简幂指数：将根式统一化为分数指数幂形式 $x^{\frac{1}{2}}$，整理 $x$ 的总幂次。
3. 确定 $r$ 的值：令 $x$ 的幂指数等于 $\frac{3}{2}$，求出对应的 $r$。
4. 建立方程：将 $r$ 代入系数表达式，令其等于 $30$，解方程求出 $a$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出并化简通项公式 二项式 $(\sqrt{x}-\frac{a}{\sqrt{x}}{)}^5$ 的展开通项为： $T_{r+1}=C_5^r(\sqrt{x}{)}^{5-r}\cdot (-\frac{a}{\sqrt{x}}{)}^r$ 将根式化为分数指数幂： $T_{r+1}=C_5^r(x^{\frac{1}{2}}{)}^{5-r}\cdot (-a{)}^r\cdot (x^{-\frac{1}{2}}{)}^r$ 整理得： $T_{r+1}=C_5^r(-a{)}^r\cdot x^{\frac{5-r}{2}-\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=C_5^r(-a{)}^r\cdot x^{\frac{5-2r}{2}}$

第二步：确定 $r$ 的值 令 $x$ 的幂指数 $\frac{5-2r}{2}=\frac{3}{2}$， 解得 $5-2r=3⟹2r=2⟹r=1$。

第三步：建立方程并求解 $a$ 当 $r=1$ 时，该项的系数为： $C_5^1(-a{)}^1=5\cdot (-a)=-5a$ 由题意知该系数为 $30$，则： $-5a=30⟹a=-6$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。注意系数包括常数项和符号位。
• 避坑指南：
  1. 符号问题：在提取系数时，一定要把项中的负号（本题中的 $-a$）包含在内。
  2. 计算细节：分数指数幂的运算 $\frac{5-r}{2}-\frac{r}{2}$ 容易在合并时出错。
• 核心方法：通过通项公式进行“幂次对齐”，是解决二项式特定项问题的不二法门。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若要求展开式中的常数项，则令 $x$ 的幂指数为 $0$。
• 方法推广:
  • 赋值法：若要求所有项系数之和，通常令 $x=1$。
• 相关知识点: 杨辉三角、组合数计算、指数幂运算法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练(Links)

• 2012-湖南卷理-13
• 2004-湖南理-15 填-二项式定理
• 2014-湖南卷理-04 单-二项式通项