2015-湖南卷理-07 单-正态分布

本题导读

本题将正态分布的概率密度曲线与几何概型相结合，考查学生对正态分布对称性及 $1\sigma$ 原则的理解与应用。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 在如图所示的正方形中随机投掷 $10000$ 个点，则落入阴影部分（曲线 $C$ 为正态分布 $N(0,1)$ 的密度曲线）的点数的估计值为 ()

A. 2386　　　　　B. 2718　　　　　C. 3413　　　　　D. 4772

附：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -\sigma <X\le \mu +\sigma )=0.6826$，$P(\mu -2\sigma <X\le \mu +2\sigma )=0.9544$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析区域面积：正方形的边长为 $1$，面积 $S_{\text{正方形}}=1\times 1=1$。落入阴影部分的点数估计值取决于阴影部分面积与正方形总面积的比值。
2. 计算阴影面积：阴影部分是由 $x$ 轴、直线 $x=1$ 以及正态分布 $N(0,1)$ 的密度曲线围成的。其面积等于随机变量 $X$ 落在区间 $(0,1]$ 上的概率 $P(0<X\le 1)$。
3. 利用正态分布性质：由 $\mu =0,\sigma =1$ 可知，$P(0<X\le 1)$ 是 $P(-1<X\le 1)$ 的一半（利用密度曲线关于 $x=0$ 对称）。
4. 得出结论：点数估计值 = 总点数 $\times \frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定正方形面积 由图可知，正方形的顶点坐标分别为 $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$， 其面积 $S_{\text{正方形}}=1$。

第二步：计算阴影部分面积 因为曲线 $C$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的密度曲线， 根据正态分布的对称性，曲线关于 $y$ 轴（即 $x=0$）对称。 已知 $P(-1<X\le 1)=0.6826$， 则阴影部分的面积为： $S_{\text{阴影}}=P(0<X\le 1)=\frac{1}{2}P(-1<X\le 1)=\frac{1}{2}\times 0.6826=0.3413$

第三步：计算点数估计值 设落入阴影部分的点数为 $k$，则根据几何概型原理： $\frac{k}{10000}\approx \frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}=\frac{0.3413}{1}$ $k\approx 10000\times 0.3413=3413$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：标准正态分布 $N(0,1)$ 的对称性。阴影面积转化为概率区间。
• 核心方法：利用“$1\sigma$”原则（$68.26\%$ 规律）解决面积估算问题。
• 避坑指南：注意图中的积分区间是从 $0$ 到 $1$，而不是整个正数区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若正方形边长变为 $2$，阴影部分涉及 $x\in (0,2]$，则需使用 $P(0<X\le 2)=\frac{1}{2}P(-2<X\le 2)=0.4772$。
• 方法推广:
  • 蒙特卡罗算法：本题背景展示了如何通过随机投点实验来估算复杂的几何面积或定积分值。
• 相关知识点: 正态密度函数表达式、几何概型的测度定义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-17 解-相互独立事件的概率
• 2014-湖南卷理-02 单-简单随机抽样
• 2013年湖南卷理-2