2015-湖南卷理-11 填-定积分的计算

本题导读

本题考查定积分的基础计算。主要通过求原函数并代入积分上下限求解，也可结合函数图象的几何意义（有向面积）进行直观判断。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） ${\int }_0^2(x-1)dx=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 公式法（微积分基本定理）：找到被积函数 $f(x)=x-1$ 的一个原函数 $F(x)$，利用 $F(2)-F(0)$ 进行计算。
2. 几何意义法：观察直线 $y=x-1$ 在 $[0,2]$ 上的图象。定积分的几何意义是函数图象与 $x$ 轴在积分区间内围成的“有向面积”之和。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

方法一：微积分基本定理

被积函数为 $f(x)=x-1$。 其一个原函数可取为 $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x$。 根据牛顿-莱布尼茨公式： ${\int }_0^2(x-1)dx={\left[\frac{1}{2}{x}^2-x\right]}_0^2$ $=\left(\frac{1}{2}\cdot 2^2-2\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot 0^2-0\right)$ $=(2-2)-0=0$

方法二：几何意义

函数 $y=x-1$ 是一条直线，其与 $x$ 轴的交点为 $(1,0)$。

• 当 $x\in [0,1]$ 时，图象在 $x$ 轴下方，围成的三角形面积 $S_1=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。由于在轴下方，该段积分值为 $-\frac{1}{2}$。
• 当 $x\in [1,2]$ 时，图象在 $x$ 轴上方，围成的三角形面积 $S_2=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。由于在轴上方，该段积分值为 $\frac{1}{2}$。 由于图象关于点 $(1,0)$ 中心对称，两部分面积大小相等且符号相反，故总积分为： $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$

答案：0

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：熟练掌握基本初等函数的原函数公式；准确应用牛顿-莱布尼茨公式。
• 避坑指南：求原函数时幂函数的指数要加 1，代入上下限时务必注意括号，避免因负号导致的计算错误。
• 核心方法：对于线性函数或具有奇偶对称性的函数，优先考虑图象的几何意义，通常比纯代数计算更直观且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广：若 $f(x)$ 为关于点 $(a,0)$ 中心对称的函数，则在对称区间内的积分 ${\int }_{a-m}^{a+m}f(x)dx=0$。
• 变式训练：若题目要求 ${\int }_0^2|x-1|dx$，则由于绝对值将负面积翻转为正面积，结果应为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
• 物理意义：若 $v(t)=t-1$ 表示物体的速度，则该定积分表示物体在 $0$ 到 $2$ 秒内的位移为 $0$（即回到了起点）。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2010-湖南卷理-05
• 2014-湖南卷理-09 单-正弦函数的对称性
• 2013年湖南卷理-12