2015-湖南卷理-12 填-茎叶图

本题导读

本题考查统计学中茎叶图的数据读取以及系统抽样的等概率性特点。通过识别特定区间内的人数占比来确定抽样后的结果。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 $[139,151]$ 上的运动员人数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解茎叶图：茎代表高位数，叶代表个位数。成绩由好到差即由小到大排列（马拉松比赛中时间越短成绩越好）。
2. 提取特定区间人数：在茎叶图中数出数值在 $139$ 到 $151$ 之间的叶子个数，确定该区间内的运动员总数 $n$。
3. 分析系统抽样特点：系统抽样是等距抽样，具有等概率性。这意味着每个个体被抽中的概率相等。
4. 计算抽样人数：在该区间内抽到的人数 = 区间总人数 $\times$ 抽样比（$\frac{\text{样本量}}{\text{总体量}}$）。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：读取茎叶图数据 由茎叶图可知，运动员的总成绩分布如下：

• 茎为 $13$：末尾为 $9$ 的有 $1$ 个（即 $139$ 分钟）；
• 茎为 $14$：所有的叶子（$1,1,1,2,2,2,3,3,4,4,5,5,5,6,6,7,8$）都在区间内，共 $17$ 个；
• 茎为 $15$：末尾为 $0,1$ 的有 $2$ 个（即 $150,151$ 分钟）。 累加区间 $[139,151]$ 内的人数：$1+17+2=20$ 人。

第二步：计算抽样比 总体人数 $N=35$，抽取人数 $n=7$。 抽样比 $k=\frac{n}{N}=\frac{7}{35}=\frac{1}{5}$。

第三步：计算目标区间抽中人数 由于系统抽样中每个个体被抽中的概率均为抽样比 $k$， 则成绩在区间 $[139,151]$ 上的 20 人中，被抽中的人数估计为： $20\times \frac{1}{5}=4\text{ 人}$

答案：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：茎叶图的结构（茎为十位或百位，叶为个位）；系统抽样的公平性。
• 避坑指南：
  1. 数数细心：茎叶图中数据较多，数区间人数时容易漏掉边值（如 $139$ 或 $151$）。
  2. 理解成绩：马拉松比赛“好到差”指的是时间“短到长”，虽然排序方向不影响总人数统计，但需具备常识。
• 系统抽样中，如果总体能被样本量整除，则每段抽一人。本题中 $35÷7=5$，即每 5 人中抽 1 人，区间内 20 人恰好包含 4 个完整的抽样段。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 无论采用简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，只要抽样过程是随机且等概率的，各部分被抽中的人数占比均等于其在总体中的占比。
• 方法推广: 处理大样本统计题，优先寻找“抽样比”或“频率”，利用样本特征估计总体特征。
• 相关知识点: 分层抽样、中位数与众数的计算、频率分布直方图。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-02 单-简单随机抽样
• 2013年湖南卷理-2
• 2004-湖南理-05 单-抽样方法