2015-湖南卷理-16C 解-不等式证明

本题导读

本题考查不等式的证明。第一问通过代数变形转化已知条件，利用基本不等式直接证明；第二问采用反证法，结合一元二次不等式的解集特征导出矛盾。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 设 $a>0,b>0$，且 $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.证明：

(1) $a+b\ge 2$；

(2) $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 不可能同时成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件：将 $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 右边通分得 $\frac{a+b}{ab}$。由于 $a+b>0$，约简后可得 $ab=1$。这是解题的突破口。
2. 第一问证明：已知 $ab=1$，证明 $a+b\ge 2$，直接使用均值不等式（基本不等式）即可。
3. 第二问证明：题目要求证明“不可能同时成立”，这是典型的反证法信号。
   • 假设同时成立，分别解出一元二次不等式关于 $a$ 和 $b$ 的取值范围。
   • 观察两个范围的乘积是否与已知条件 $ab=1$ 矛盾。

✅【答案】

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证毕

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明 $a+b\ge 2$ 已知 $a>0,b>0$，且 $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。 将等式右边通分： $a+b=\frac{a+b}{ab}$ 因为 $a,b>0$，所以 $a+b\ne 0$。等式两边同时除以 $(a+b)$ 得： $1=\frac{1}{ab}⟹ab=1$ 由基本不等式（均值不等式）： $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 代入 $ab=1$ 得： $a+b\ge 2\sqrt{1}=2$ 当且仅当 $a=b=1$ 时，等号成立。 证毕。

（2）证明 $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 不可能同时成立 采用反证法。 假设 $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 同时成立。 由 $a^2+a-2<0$，因式分解得 $(a+2)(a-1)<0$。 由于 $a>0$，则 $a+2>0$，所以必须满足 $a-1<0$，即 $0<a<1$。 同理，由 $b^2+b<2$ 及 $b>0$ 可得 $0<b<1$。 依据不等式的乘性，由 $0<a<1$ 和 $0<b<1$ 可推出： $ab<1\times 1=1$ 这与已知条件 $ab=1$ 产生矛盾。 因此，假设不成立，即 $a^2+a<2$ 与 $b^2+b<2$ 不可能同时成立。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$；反证法的逻辑结构（假设-推导-矛盾-结论）。
• 核心方法：等价转化。将复杂的条件式转化为极简的 $ab=1$，是降低后续证明难度的关键。
• 避坑指南：在解一元二次不等式时，务必结合题干中的范围限制 $a>0,b>0$ 排除负根范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若条件改为 $a+b=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}$，通过类似变形可探究 $ab$ 与 1 的关系。
• 方法推广:
  • 反证法：适用于结论中含有“至少”、“至多”、“唯一”、“不可能”等词汇的命题。
• 相关知识点: 柯西不等式、权方和不等式、二次函数的图象。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-22 解-导数单调性
• 2013年湖南卷理-21
• 2014-湖南卷理-14 填-线性规划