2015-湖南卷理-21 解-极值

本题导读

本题是导数与数列、不等式结合的综合压轴题。第一问通过求导和辅助角公式确定极值点序列，验证比值为常数；第二问通过等价转化，构造辅助函数并利用其单调性和最值证明不等式恒成立。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=e^{ax}\sin x$ ($x\in [0,+\infty )$)，记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 个极值点.证明：

(1) 数列 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列；

(2) 若 $a\ge \frac{1}{\sqrt{e^{\pi }-1}}$，则对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$x_n<|f(x_n)|$ 恒成立.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（极值点与等比数列）：
   • 求导：利用乘法法则求出 $f^{\prime }(x)$。
   • 辅助角转化：利用辅助角公式将导函数写成 $A\sin (x+\varphi )$ 的形式，寻找 $f^{\prime }(x)=0$ 的根。
   • 确定 $x_n$：根据极值点定义写出 $x_n$ 的通项，代入 $f(x)$ 计算项值，验证相邻项的比值是否为常数。
2. 第二问（不等式恒成立）：
   • 等价转化：将目标不等式 $x_n<|f(x_n)|$ 展开并化简，转化为关于 $a{x}_n$ 的比例形式。
   • 构造函数：构造辅助函数 $g(t)=\frac{e^t}{t}$，利用导数研究其单调性与最小值。
   • 临界判定：结合参数 $a$ 的已知范围，证明在所有 $n$ 下，函数值均大于目标常数，从而得证。

✅【答案】

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综上所述，不等式恒成立

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：数列 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=a{e}^{ax}\sin x+e^{ax}\cos x=e^{ax}(a\sin x+\cos x)$ 利用辅助角公式： $f^{\prime }(x)=\sqrt{a^2+1}{e}^{ax}\sin (x+\rho )$ 其中 $\tan \rho =\frac{1}{a}$ ($0<\rho <\frac{\pi }{2}$)。 令 $f^{\prime }(x)=0$，由于 $e^{ax}\ne 0$，则 $\sin (x+\rho )=0$。 由 $x\ge 0$ 得 $x+\rho =n\pi$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，故第 $n$ 个极值点为 $x_n=n\pi -\rho$。

代入原函数 $f(x)$ 得： $f(x_n)=e^{a(n\pi -\rho )}\sin (n\pi -\rho )=(-1{)}^{n-1}{e}^{a(n\pi -\rho )}\sin \rho$ 计算相邻项比值： $\frac{f(x_{n+1})}{f(x_n)}=\frac{(-1{)}^n{e}^{a((n+1)\pi -\rho )}\sin \rho }{(-1{)}^{n-1}{e}^{a(n\pi -\rho )}\sin \rho }=-e^{a\pi }$ 因为 $-e^{a\pi }$ 是与 $n$ 无关的常数，且 $f(x_1)\ne 0$，所以数列 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列。

（2）证明：$x_n<|f(x_n)|$ 恒成立 由（1）知 $|f(x_n)|=e^{a{x}_n}\sin \rho$。 由 $\tan \rho =\frac{1}{a}$ 可知 $\sin \rho =\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$。 不等式 $x_n<|f(x_n)|$ 即： $x_n<\frac{e^{a{x}_n}}{\sqrt{a^2+1}}⟺\sqrt{a^2+1}<\frac{e^{a{x}_n}}{x_n}⟺\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}<\frac{e^{a{x}_n}}{a{x}_n}$ 设 $g(t)=\frac{e^t}{t}$ ($t>0$)，则 $g^{\prime }(t)=\frac{e^t(t-1)}{t^2}$。

当 $t\in (0,1)$ 时，$g^{\prime }(t)<0$，$g(t)$ 单调递减；当 $t\in (1,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(t)>0$，$g(t)$ 单调递增。 其最小值 $g(t{)}_{\min }=g(1)=e$。 要使不等式恒成立，只需满足 $\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}<e$。 两边平方得： $1+\frac{1}{a^2}<e^2⟹\frac{1}{a^2}<e^2-1⟹a>\frac{1}{\sqrt{e^2-1}}$ 已知 $a\ge \frac{1}{\sqrt{e^{\pi }-1}}$，由于 $e^{\pi }-1>e^2-1$，故此范围满足上述条件。 进一步分析 $a{x}_n=a(n\pi -\rho )$ 的取值： 当 $a=\frac{1}{\sqrt{e^{\pi }-1}}$ 时，$a{x}_1=a(\pi -\rho )\ne 1$，故 $g(a{x}_n)>e$。 结合单调性可知对于一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$g(a{x}_n)\ge \frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$ 均成立。 综上所述，不等式恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极值点的判定与求法；等比数列的定义证明；导数法处理不等式恒成立。
• 核心方法：构造函数法。在处理涉及指数函数与自变量复合的不等式时，将变量统一并构造新函数进行单调性分析是压轴题的标准思路。
• 避坑指南：求导时注意复合函数链式法则；在处理 $\sin (n\pi -\rho )$ 时，要注意利用诱导公式提取符号项。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 函数 $f(x)=e^{ax}\sin x$ 描述的是物理学中的阻尼振动（当 $a<0$）或增幅振动（当 $a>0$）的波形，极值点落在包络线 $y=\pm \sin \rho \cdot e^{ax}$ 上。
• 方法推广: 同构思想。本题中 $\frac{e^{a{x}_n}}{a{x}_n}$ 的形式是典型的变量同构，通过将 $a$ 移项使两侧结构一致，能极大简化证明过程。
• 相关知识点: 辅助角公式、等比数列求和、函数零点与极值的关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.12 极值点偏移专题

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