2015-福建卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的基础应用。解题核心在于熟练运用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，通过指定项的幂次确定 $r$ 值，进而计算该项的系数。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)）

$(x+2{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数等于 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：对于二项式 $(a+b{)}^n$，其展开式的通项为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 匹配项次：在本题中，$a=x,b=2,n=5$。我们要找的是包含 $x^2$ 的项，即令 $x$ 的指数 $n-r=2$。

3. 计算系数值：解出 $r$ 后，代入通项公式计算常数部分，即为该项的系数。

✅【答案】

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80

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定通项公式

$(x+2{)}^5$ 展开式的通项公式为：

$T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{5-r}\cdot 2^r$

第二步：求 $r$ 的值

令 $x$ 的指数 $5-r=2$，

解得 $r=3$。

第三步：计算系数

将 $r=3$ 代入通项公式中的系数部分：

系数 $=C_5^3\cdot 2^3$

根据组合数性质 $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$。

则系数 $=10\times 8=80$。

故答案为：80。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基础公式：二项式定理是填空题的常客，通项公式 $T_{r+1}$ 中的下标 $r+1$ 与项数的关系（第 4 项对应 $r=3$）要分清。

2. 计算陷阱：系数不仅包含组合数 $C_n^r$，还包含常数项 $b$ 的 $r$ 次幂。本题中漏掉 $2^3$ 是最常见的错误。

3. 提速技巧：对于较小指数的二项式，也可以直接根据杨辉三角展开观察。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以利用 $(2+x{)}^5$ 展开，此时 $x^2$ 对应第 3 项，系数为 $C_5^2\cdot 2^3=10\times 8=80$。

• 变式思考: 若要求展开式中所有项的系数之和，该如何计算？

(提示：令 $x=1$，得 $(1+2{)}^5=3^5=243$。)

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

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• 2011-福建卷理-06

• 2006-福建卷理-13 填-二项展开式的通项公式

• 2005-福建卷理-13 填-二项式定理