2015-重庆卷文-07 单-向量垂直

本题导读

本题考查平面向量的垂直条件、数量积的性质以及向量夹角的计算。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 已知非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{b}|=4|\mathbf{a}|$，且 $\mathbf{a}\perp (2\mathbf{a}+\mathbf{b})$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 ()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\mathbf{a}\perp (2\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 可得数量积为 0，展开得到 $2|\mathbf{a}{|}^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。
2. 将 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 及 $|\mathbf{b}|=4|\mathbf{a}|$ 代入计算 $\cos \theta$。
3. 根据夹角的范围确定最终角度。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$ ($\theta \in [0,\pi ]$) 因为 $\mathbf{a}\perp (2\mathbf{a}+\mathbf{b})$，所以 $\mathbf{a}\cdot (2\mathbf{a}+\mathbf{b})=0⟹2|\mathbf{a}{|}^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 将 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 和 $|\mathbf{b}|=4|\mathbf{a}|$ 代入得： $2|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{a}|\cdot 4|\mathbf{a}|\cos \theta =0$ 因为 $\mathbf{a}$ 为非零向量（$|\mathbf{a}|\ne 0$），两边同除以 $|\mathbf{a}{|}^2$ 得： $2+4\cos \theta =0⟹\cos \theta =-\frac{1}{2}$ 又因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =\frac{2\pi }{3}$

C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的充要条件 $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$。
2. 核心方法：利用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 建立包含角度的方程。
3. 避坑指南：向量夹角范围为 $[0,\pi ]$，注意余弦值为负数时对应的钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自平面向量基本运算与数量积章节的基础综合题，立足于考查向量数量积的几何与代数性质。
2. 结论推广：若 $\mathbf{a}\perp (k\mathbf{a}+\mathbf{b})$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-k|\mathbf{a}{|}^2$，此时夹角余弦值 $\cos \theta =-\frac{k|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2014-重庆卷理-04 单-向量坐标运算
• 2006-重庆卷理-07 单-向量垂直与对称的几何特征